Un cas particulier intéressant est celui où H est fonc

ÉTUDE nu CHAMP PRODUIT PAR l'eXCITATEUR 1T5

tion seulement de r, dïstaace & l'origine ; une tranarormaUon bien connue donne :

(6-* ' r- rfr Il est aloPB déDnî par l'équation :

L'équation prend une forme plus simple en posant : n = - ; elle devient ;

c'est l'équatiun des cordes vibrantes, dont l'intégrale est:

'"' '=''(-+vî)+'"('-;î)

84. Excitateur sphérique de Lodge. — Appliquons à un exemple susceptible d'èlre traité complètement. Soit une sphère conductrice plongée dana un champ électrique uni- Torme; de l'électricité positive se porte sur un hémisphère, de l'éleclricité négative sur l'autre, et l'équilibre est supposé atteint à l'origine du temps. On supprime brusquement le champ : il en résulte des vibrations électriques dans le conducteur el ilfinsi If (ik'Icctriiiui' environnant. Lojge a étudié ce cas ex^érimeulftleni^dt.

La Aphèi'ii ploug'^e >jiiiin un cbauip qaiConne se comporte

comme un élément électrique orieulé suivant le champ

dx ici pas de courant, donc F, G, H sont nuis.

^ dz

C étant une constante que nous pouvons prendre égale à — — » de manière à n'avoir pas de coefficient dans les formules :

dxdz

dydx

En comparant aux équations (3), nous voyons que la valeur initiale de n est TI = -; celle de 0 est ô = 1, et la valeur

initiale de — est o, puisqu'au début il y a équilibre et que

l'équilibre persiste.

On supprime le champ électrique ; 0 va commencera varier, d'après la formule :

^— K — dr^ ■" d('

ÉTUDE DU CHAMP PRODUIT PAR l'eXCITATEUR 177

Etablissons les conditions aux limites : on a à Torigine une sphère de rayon a; écrivons qu*à la surface les lignes de force électrique sont normales à la sphère : WCn^y ^

En considérant seulement les deux rapports extrêmes,

Transformons, en convenant de représenter par des lettres accentuées les dérivées successives de 6 par rapport à r :

^ — /? A\ f — /i! 1\ dx \r r*/ r \r* r*/

dxdz \r^ r^ ' r*/ r '

De môme

expression que nous pouvons écrire pour abréger

On aurait de même :

tf»n

Î=b+Ça

^VTIQUE. i :2

ut l'équation (9) devient :

rA= -rn- Î-±JLa = --B— — A4-- a

ou :

iB -f rA = o

En substituant et multipliant par r, il vienl :

Cette équation doit être vérifiée pour r =z a

85. D'après ces conditions déterminons 6, e'esl-à-dire les deux fonctions ô| et ô, qui entrent dans Téqualion (8). A l'o-

rigine du temps / = o, 6 n:: 1, et -r- = o

«; (r) — 6i (r) rr: o

d'où

0^ ./'} — 0.^ [r) = consl.

0, [r] et 0^ (r) sont égaux à une constante près : si on ajoute une constante à 0^ et qu*on la relranclie à ôjj, on ne chaiiire rien à 0 ; on peut donc prendre à Toriginc du temps ;

Ceci est vrai pour r quelconque pourca que r soit > a. Faisons croître t à partir de o ; à Tinstant /, la fonction

ÉTUDE DU CHAMP PRODUIT PAR l'eXCITATEUR 17î)

Ô4 ( r -|- -rr j a la même valeur pour une dislance r, qu'elle

avait à Tinstant o pour la distance r' =1 r 4 — ;=• Si r était

> a, à plus forte raison r' > a, puisque l est positif: donc Ô4 reste nul en tout point extérieur a la sphère. 0^ conserve de

même la valeur constante i tant que r r= > a. Pour les

valeurs de r comprises entre a et a + -t=> 6 se réduit à ôj ;

mais O2 n*est plus égal à i : cette fonction est alors déterminée par Téquation différentielle (10).