Or
dt dtj "" dxdt 4ir/7 — ^7c^^ ^/a?^ dydt
et dans le diélectrique, on a :
K — X ~ dû dx
;«) Voir p. 110, { 46.
iLECTRICITI^: ET 0PTIQI:B. U
210 ÉLËCTIUCiTÉ ET OPTIQUE
d'où :
d'Y ^^ dl c/^9
De môme :
,.. rf^i 1 (fT K rf«^
^^ f//» "" K — X cto K — X rfyrf/
Que deviennent ces équations dans le conducteur? On a, pour un point intérieur :
dt ^ dœ '
tout se passe donc comme si K était infîni et les équations (5) et (6) deviennent :
rf^F d^^ dC^ "' dœdt
d^(j rf^y rf/2 — dydt
106. Cherchons les valeurs de cp et de y dans les trois régions.
L'équation (3) exprime que la force magnétique se propage avec la vitesse des vibrations dites transversales ; Téquation (4), que le potentiel électrostatique se propage avec la vitesse des vibrations longitudinales.
Remplaçons -r^ et -rj) ainsi que -j-^ et ;i^par leurs valeurs en fonction de y et de <p, il vient :
Posons :
Les deux intégrales fondamentales de (7) sont e^^* et Pour a? < o,
où A et B sont fonctions seulement de y et de ^
A = Ao e'(*y-/'0
Aq étant une constante.
Pour o < 0? < », Y = 0.
■ De l'autre côté de la plaque, pour a; > e, on aura :
où A' et B' sont des fonctions de même forme que A et B, mais ayant des valeurs différentes.
De même pour ^, posons :
(*) Ici nous ne conoaissoas pas a priori le signe du premier membre el nous sommes obligés de mettre ±: c*; précédemment nous avions toujours 6* — p* (VL ^ X) positif, car Tonde transversale incidente que nous nous donnons a une vitesse toujours réelle.
tilâ ÉLECTRiClTÉ ET OPHQUE
Si c'est le signe -f- <]ui convien), l'intégrale générale de (8) est :
Si c'esl le signe — , l'intégrale est :
Dans le conducteur, entre les plans a? = o et a? = e, on a K = 2W, et le coenicient de 9 dans l'équation (8) se réduit a :
El rintégrale est :
cp = CV*'-^ + D'ô-"'' ou
^=z Ge^' -f-D'e-^-*
suivant qu'il faut prendre -\-il^ ou — cP.
Enfin pour .r > », de Tautre côté de la plaque, on aura, suivant les cas :
ou :
107. Les deux termes tjui entrent dans Texpression de y pour 07 < 0, correspondent : Tun, Ae'**^, au rayon incident Vautre, ^e '^^, au rayon réfléchi : pour x > e, on a encore deux termes : l'un AV"^ correspond au rayon réfracté, l'autre ^'Q-iax ne correspond à rien, par suite il doit être nui.
De même pour <p. Le facteur 6^ — p^ — - - étant
RÉFLEXION DBS OHDBS ÉLECTH0MACNÉTI0UE3 Hi
supposé d'abord positif, le premier terme Ge'"^ correspond au rayon incident, le second, Ds-'"' au rayon réfléchi.
Supposons que nous ayons une onde transversale incidente : il n'y a pas d'onde longitudinale incidente, et le terme Ce'" doit être nul ; mais il y aura en général une onde longitudinale réfléchie et une réfractée. Dans le conducteur, on aura les deu» termes, car il y aura l'onde réfractée et l'onde réfléchie sur la seconde face. De l'autre côté du conducteur, on aura seulement le terme Ce'" correspondant à l'onde longitudinale réfractée.
Dans le cas où le facteur i' — p' — ^ ' serait négatif;
on aurait, poura; < o seulement le terme Ce"* {en prenant e posiliQ; carie terme De-'-* deviendrait infini pour. t^: — ^o, il doit donc être nu).
Dans la plaque, les deux termes subsisteraient et, à la sortie, on aurait seulement le terme D'à-" car le terme Ce''' deviendrait infini pour x = -\- =>o.
En résumé deui cas sont à distinguer :
On a alor»! :
OnJ«i UaoïTeruIn ODdM 1onglludlDil«i
A gauche delà plaque Y=:Ae''"+B^" ç=De-'" Dans la plaque y=o f=C'e''''-\-'D'e-""
ou ç=CV'-|-Dc^' A droite de In plaque y = AV" ^=Ce'"
âl4 ËLECTRICITÉ ET OPTIQUE
On a alors :
OndM iransverulas Ondes longHodinalM A gauche d«* la plaque y =Ae'«'-f"^~'** ? = C^'* Dans la plaque y = o ^ = C'tf^* -f-D'^-'*
A droite de la plaque y ■= AV*" ff^zDTe-^'
On a d'ailleurs à droite de la plaque suivant les cas :
Ai:u — i6AV«' + XCTcpe*^ ou
Atzu = ibk'e''" -f- X.D'ctpc-»
108. Que faut-il pour qu'il nV ait pas courant au-delà de la plaque ? Il faut que les valeurs obtenues pour u et t7 soient identiquement nulles. Nous allons montrer que, si l*on ne suppose pas X = o, on n'obtient ce résultat qu*en supposant nulle Tonde incidente.
Pour que le courant soit identiquement nul au-delà delà plaque, il faut que les coeflicients A', Cet D*' soient nuls; dans la Ihénrie de Maxwell on pourrait laisser G^ et D*' diffé-
renlsdeo, car le terme en X -T7^ s'annule sans qu'on ail
besoin d'annuler :p. Observons maintenant que P, G et 9
doivent iHre des fondions continues.
Considérons le plan .r =z t\ en un point situé à droite, par
conséquent au-delà de la pla(]ue, on doit avoir F = G = o;
comme F et (\ sont continus, ils sont nuls aussi en un point
très voisin du plan, mais situé à gauche.
d'Y cP9
SiFest nul, -^ = — '>^' «^^^^ ""^ donc ^^^ = 0; car à Im-
RÉFLEXION DBS ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES 215
térieur de la plaque on a
d'Où
dF , rf® 1 — ^ = o
cPF (P^ dfl + dxdt "^ ^
et rp -7^ =0. ^ est donc nul dans le conducteur au voisinage de la seconde surface.
On démontrerait de même que -7-^ est nul. Donc pô^ -= o,
dm
par suite (p = o. ç et -^ étant nuls en un point du conducteur
et (p étant une somme de deux exponentielles, les deux coefficients sont forcements nuls. Ainsi (p est nul, comme y, à rintériear du conducteur.
109, Raisonnons de même, en considérant la première surface a? = o ; pour un point infiniment voisin de la surface, mais à Textérieur du conducteur, F et G sont nuls, puisqu'ils sont continus en traversant la surface : et qu'ils sont nuls dans le conducteur.
rf*F £PG
Ti" ^^ 77ïi ^^°^ ^^^^ ' ®^ ^ ^^^^ ^^^ ^"^ P^"^ ^* même raison.
On en peut conclure que ^ = o, car 9 = Ce'^^ ou Ce'*', et -^ =r ie<p ou Cîp suivant le cas.
-^ = — /p -rL = o
^.r^^ '^ dx
Nous avons donc :
fffl ~" fit* "~ dœdt — di/dt
et si l'on compare avec les équations (5) el (6) il vient j7^ = -j^ = o ; d'où Y = o ; et y étant une somme de deux
dy
exponentielles, y et -r^ ne peuvent Atre simultanément nuls
qu'autant que les deux coefficients sont nuls. «^ est donc identiquement nul. Il faut donc, pour n'avoir aucune onde rf^fractée passant à travers la plaque, supprimer Ponde incidente. Une onde transversale incidente quelconque passera toujours à travers la plaque à moins que \ = o,
