Dans ce qui précède, nous avons été amenés à supposer

que la pression dans le fluide inducteur est égale à ^, Nous nous trouvons donc en conlradiclion avec une autre théorie

de Maxwell, où Ton trouve que la pression en un point du diéletrique, au lieu d'être égale au potentiel, est proporlion-

, oO '^ QQ^ I nelle à V l-^) • Nous reviendrons plus loin sur cette contradiction.

42. La méthode précédente n'est pas la seule que l'on puisse employer pour déduire de la théorie de Maxwell les lois de la distribution électrique. Elle a d'ailleurs Tinconvénient de ne plus subsister si le fluide inducteur n'existe pas ou si dans ce fluide il n'y pas de pression. Ayant fait remarquer que l'hypothèse du fluide inducteur ne devait ètrfi,jCon=L sidérée que comme une hypothèse transitoire^ il n'est pas inutile d'indiquer une autre méthode donnant les lois de la distribution électfique sans supposer l'existence de ce fluide. Exposons cette méthode.

Pour qu'un système soit en équilibre, il faut et il suffit que son énergie potentielle soit minimum. Nous obtiendrons donc les conditions de l'équilibre électrique, en exprimant que l'énergie potentielle W est minimum, ou, ce qui revient au même, que la variation de West nulle quand on donne à/*, ^, A, des accroissements quelconques compatibles avec les liaisons. Or, quelle que soit la théorie adoptée /", g^ A, doivent satisfaire à la relation

• dx'^ dy'^ dz "" ^'

qui exprime l'incompressibilité du milieu.

D'autre part, considérons un quelconque des conducteurs du système. La charge M de ce conducteur sera une des données

de la question. On devra donc avoir

f{^r+pg + yh)dio= M

l'intégrale étant étendue à tous les éléments d(ù de la surface du conducteur; a, p, y désignant les cosinus directeurs de la normale à cet élément et M une constante donnée.

Écrivons que la variation de l'énergie potentielle est nulle ; nous avons

8W= 1 ^{ftr + ff^Sf+hth)dT = o.

Mais à cause des liaisons nous avons aussi

AaS/*-}- p8^ + Y^^) c^ = 0,

l'intégrale étant étendue à tous les éléments de volume c^t du diélectrique.

Le calcul des variations nous apprend qu'il existe une fonction ^ telle que Ton ait identiquement

*il,r^r-^2ivy=-

En intégrant par parties l'intégrale correspondant au second terme de la parenthèse, nous obtenons

^S^^+SË^/]'^"-/(*"<'^^+P't'^^+^W''«-=0'

Cette équation devant être satisfaite identiquement, tous les éléments de la première intégrale doivent être nuls ; on a

ce qui est précisément la relation donnée par Maxvell. Il reste

L*intégrale étant étendue à tous les éléments de surface de tous les conducteurs.

Cette équation devra être satisfaite pour toutes les valeurs de S/*, 8^, 0^ satisfaisant aux équations de liaison, c*est-à-dire telles que Ton ait pour chacun des conducteurs

AaS/'-f- pZg + yZh) diû = o.

Les règles du calcul des variations nous apprennent que cela ne peut avoir lieu que si ^ est constant à la surface de chacun des conducteurs.

Ainsi le potentiel ^ a une valeur constante en tous les points de la surface de chacun des conducteurs, cette valeur pouvant varier d'ailleurs d'un conducteur à Tautre.