MAXWELL

43. Hypothèses de Poisson sur la constitution des diélectriques. — Dans la théorie de Poisson le rôle des diélectriques est bien moins important que dans celle de Maxwell. Pour Poisson le diélectrique n'a d'autre but que d'empêcber le mouvement de rélectricité. Mais pour expliquer l'augmentation de capacité d'un condensateur quand on y remplace la lame d'airpar une autre substance non conductrice, une hypothèse est nécessaire. Une difficulté analogue rencontrée dans la théorie du magnétisme avait été résolue de la manière suivante par Poisson.

Il s'agissait d'expliquer le magnétisme induit. Poisson regarde un morceau de fer doux aimanté par influence comme un assemblage d'éléments magnétiques séparés hs uns des autres par des intervalles inaccessibles au magnétisme et de dimensions très petites. Dans chacun de ces éléments, aux-

quels Poisson attribue pour plus de simplicité la forme sphérique, les deux fluides magnétiques peuvent se séparer et / circuler librement.

I ^MyggûULp'^ ®" ^"'à transporter celte théorie en électrostatique pour expliquer les phénomènes observés dans les diélectriques. Dans cette hypothèse, Tair est le seul^ diélectrique I homogène ; quant aux autres dii^lectriques, il se les repré- ^ sente comme constitués par de petites sphères conductrices disséminées dans une substance non conductrice jouissant I des mêmes propriétés que Fair. Les phénomènes attribués au t pouvoir inducteur spécifique s'expliquent alors par les effets > répulsifs et attractifs de Télectricité induite par influence dans ' les sphères conductrices.

44. Dans cette théorie comme dans celle de Maxwell il existe des courants de déplacement. En effet supposons un diélectrique autre que Tair en présence de conducteurs électrisés; l'électricité neutre des sphères conductrices du diélectrique est décomposée : un hémisphère se trouve chargé" positivement, l'autre négativement. Si alors on met les conducteurs en communication avec le sol l'influence sur les sphères du diélectrique cesse et ces sphères reviennent à l'état neutre ; l'électricité se déplace donc d'un hémisphère à l'autre, par suite, il y a des courants de déplacement.

Il est probable que c'est la conception de Poisson et Mossolti sur la naturedes diélectriques qui a conduit Maxwell à sa théorie. Il dit l'avoir déduite des travaux de Faraday et n'avoir fait que traduire sous une forme mathématique les vues de ce célèbre physicien ; or. Faraday avait adopté les idées de Mossotti. (Cf. Expérimental Researches, Faraday, série XIV,

§ 1679). Ajoutons que, ainsi que nous le verrons bientôt, Tintensité des courants de déplacement n'a pas la môme valeur dans la théorie de Poisson et dans celle de Maxwell. Nous montrerons cependant comment on peut faire concorder les deux théories.

45. On a fait malheureusement à la théorie du magnétisme de Poisson de graves objections et il est certain que les calculs | du savant géomètre ne 'sont nullement rigoureux. Ces objections s'appliquent naturellement à la théorie de Mossotti qui n'en diffère pas au point de vue mathématique.

C'est ce qui me décide à ne pas reproduire ici ces calculs , je me bornerai à renvoyer le lecteur qui désirerait en faire une étude approfondie aux sources suivantes. Le mémoire original de Poisson, sur la théorie du magnétisme a paru dans le tome V des Mémoires de l'Académie des Sciences (1821-1822). Une théorie plus élém«;ntaire, mais passible des mêmes objections, est exposée dans le tome !•' des Leçons sur l'Electricité et le Magnétisme de MM. Mascart et Joubert (pages 162 à 177). C'est celle que j'avais développée dans mes leçons.

Je renverrai également à l'article 314 de la seconde édition de Maxwell où le savant anglais présente d'une façon très originale une théorie identique au point de vue mathématique à celle de Poisson et de Mossotti, mais s'applîquantà un problème physique très différent, celui d'un courant élec- / trique à travers un conducteur hétérogène. ' .

Mais je recommanderai surtout la lecture du mémoire de / (./j j^ ^ M. Duhem sur Taimantation par influence (Paris, Gauthier, / Villars 1888; et Annales de la Faculté des Sciences de Tou-

4i ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

louse), où les calculs de Poisson et les objections qu'on y peut faire sont exposés avec la plus grande clarté. Je vais maintenant développer la théorie en cherchant à me )fi44f*f mettre à Tabri de ces objections ; pour cela, j'ai besoin de

connaître la distribution de l'électricité induite par une sphère placée dans un champ uniforme.

46. Sphère placée dans un champ uniforme. — Prenons une sphère conductrice placée dans un champ électrique uniforme et désignons par-j/ la valeur du potentiel dû aux masses électriques extérieures en un point de ce champ. La force électrique s'exerçant sur Tunité de masse électrique située en un point quelconque a pour composantes

Si on prend l'axe des x parallèle aux lignes de forces du champ, cette force électrostatique, que nous désignerons par ^, a pour valeur

La sphère conductrice placée dans le champ s'électrise par influence et l'équilibre électrique est atteint quand la force électrostatique due à la distribution sur la surface de cette sphère est égale et directement opposée à «p en tout point intérieur. Cherchons l'expression de cette force.

47. Lorsque la sphère conductrice est k l'état neutre, nous pouvons la considérer comme formée de deux sphères égales, ayant même centre, chargées, l'une d'électricité positive,

l'autre d'une quantité égale d'électricité négative; chacune de ces deux charges, au lieu d'être seulement superficielle, étant uniformément répandue dans tout le volume de la sphère ; la résultante des actions exercées par ces sphères sur un point extérieur est évidemment nulle, comme cela doit élre. Si nous

Fig. 5.

déplaçons la sphère négative de manière que son centre vienne en 0' {fig. 5), le centre de la sphère positive restant en 0, les actions de ces sphères ne se neutralisent plus. Nous pouvons donc regarder la sphère conductrice soumise à Tinlluence comme formée de deux sphères égales, électrisées en sens contraire et dont les centres ne coïncident plus.

48. On saitque l'action d'une sphère homogène sur un point intérieur situé à une distancer de son centre est la mùme que si la masse électrique contenue dans la sphère de rayon r était concentrée au centre de la sphère. En appelant p la densité électrique en chaque point de la sphère on a pour la force électrostatique s'exerçant sur le point considéré

Si donc on appelle a?^, y^, Zq les coordonnées du centre de la splière, a?, y, z les coordonne'es du point conpidéré, les composantes de l'action exercée par la sphère sur Tunité de masse électrique placée en un point intérieur ont pour valeurs

3 ^ (^ — ^o)p» 3 'f (y — yo)p» 3 '^ (^ "" -^o) P-

49. Appliquons ces formules aux deux sphères qui remplacent la sphère conductrice éleclrisée par influence. Prenons pour origine des axes de coordonnées le centre 0 de la sphère positive et pour axe des x la droite qui joint les centres 0 et 0' des deux sphères. Nous aurons pour la composante suivant Ox de la résultante des actions qu'exercent les deux sphères sur l'unité de masse électrique située en un point intérieur a?, y, ^y

- 7ra:p — 3 îc (a? — a?^) p = - way^p,

ûSq désignant Tabcisse de 0'. Quant aux composantes suivant les axes des y et des z, on voit facilement qu'elles sont nulles. Il faut donc, pour qu*une molécule électrique intérieure à la sphère soit en équilibre sous Faction du champ uniforme (p et de l'électricité développée sur la sphère par inQuence, que la ligne des centres des sphères positive et négative soit parallèle au champ et que la dislance de ces centres satisfasse à Fégalité

D'ailleurs, comme les densités des sphères ne sont assujetties qu'à la condition d'être égales en valeurs absolues nous pou-

THÉORIE DKS DIÉLECTRIQUES DE POISSON 47

Yons supposer que ces densités sont 4- i et — i. 11 vient alors,

égalité qui nous donne la distance des centres des deux sphères.

50. Nous pouvons trouver facilement la valeur du potentiel résultant de la sphère influencée en un point M extérieur à cette sphère. L'action d'une sphère homogène sur un point extérieur étant la même que si toute la masse électrique était concentrée au centre de cette sphère, le potentiel en M a pour expression

3 V' rj S rr

R désignant le rayon de chacune des sphères, r et r' la distance du point M aux centres 0 et 0'. Nous appellerons o) l'angle delà direction OMavec Taxe des x et nous négligerons les quantités infiniment petites du 2* ordre, en regardant x^ comme du i*' ordre. Alors l'expression précédente peut

s'écrire

^ r*« ^0 COSû)

ou en tenant compte de la relation (1)

La distribution électrique sur la sphère induite s'obtient tout aussi simplement. L'épaisseur de la couche négative en

un point P quelconque est

PP' r= Prcosco = iPoCos u) = - ?î£2ii2;

par suite, l'épaisseur de la couche électrique superficielle est

donnée, en valeur et en signe par l'expression ^ ' ^*

On dit qu'une sphère conductrice, sur laquelle la distribution électrique est la même que si elle était placée dans un champ uniforme, esipolaî'isée.

52. Polarisation des diélectriques. — Considérons maintenant un diélectrique, constitué comme se l'imagine Mossotti et soumis à l'action de corps électrisés extérieurs. Chacune des sphères qu'il contient va se polariser. En effet les dimensions de ces sphères étant très petites, dans le voisinage de chacune d'elles, le champ électrique peut être regardé comme uniforme.

Il est vrai que la distribution électrique à la surface d'une de ces sphères pourra être troublée par l'influence des sphères voisines; mais nous n'aurons pas à tenir compte de ces perturbations :

1° Parce que les sphères étant irrégulièrement distribuées, leur influence tend à se neutraliser mutuellement;

2^ Parce que si l'on admet que la distribution à la surface d*une sphère n'est pas la môme qu'elle serait dans un champ uniforme, ces irrégularités de la distribution sont exprimées par des fonctions sphériques d'ordre supérieur; si donc on considère le potentiel en un point situé à une distance r du centre de la sphère, les termes qui dépendent dé ces irrégu-

négligeables, si r est 1res grand par rapport au rayon de la y sphère.

Nous dirons alors qu'un diélectrique dont toutes les sphères sont polarisées est lui-môme polarisé.

53. Nous avons maintenant à définir les composantes de la polarisation électrique qui correspondent à ce qu'on appelle dans la théorie du magnétisme , composantes de la magnétisation.

Nous avons vu plus haut que le potentiel de notre sphère par rapport à un point extérieur était égal à :

ou à

en appelant u le volume de lajgt^èia.

Si Ton avait pris des axes de coordonnées quelconques, nous aurions trouvé pour le potentiel de la sphère polarisée, en appelant a?, y, z les cordonnées de son centre,

3m I djf r , d^ ^ j^ d^

4w \dx dœ dy dy "^ dz ^

Imaginons maintenant un élément de volume d-z du diélectrique, contenant un nombre très grand n de sphères, et cependant assez petit pour que le champ puisse y être regardé

ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUF. 4

comnie uniforme. Le potentiel des n sphères contenues dans cet élément sera :

Alt \dx dx *" dy dy * dx dz J Posons

nu = A^T,

de sorte que h soit le rapport du volume des sphères au volume total du diélectrique.

Posons en outre

. Zhd^ „ 3Arfd/ ^ Ud^

At: ax An dy 4:r dz

il viendra pour le potentiel dû à l'élément polarisé dx

di A di

Les trois quantités A^ B et G sont les composantes de la polarisation, et le potentiel dû au diélectrique entier s'écrira

Tintégrale étant étendue au diélectrique entier; ou, en intégrant par parties,

/rfo),.. . « . n. Idr/dk , dB , dC\

La première intégrale est étendue à tous les éléments dta de la surface qui limite le diélectrique» /, m, et n désignent les cosinus directeurs de la normale à cette surface ; la seconde intégrale est étendue au volume entier du diélectrique.

54. Soit maintenant Y^ le potentiel dû aux corps électrisés extérieurs. Soit s une quelconque des petites sphères conductrices ayant pour centre un certain point 0 et exprimons les conditions de Téquilibre électrique sur cette sphère.

Décomposons le volume du diélectrique en deux volumes partiels v' et v'V le second de ces volumes sera très petit et contiendra la sphère s.

Considérons une molécule électrique située en 0,cette molécule devra être en équilibre sous l'action : /

1® Des corps électrisés extérieurs; , ..

2* Du volume v' du diélectrique ;

3* Des sphères autres que s situées à Finlérieur de v";

4" De la sphère s.

Nous supposerons que le volume v'^, quoique contenant un très grand nombre de sphères, est assez petit pour que les composantes Â, B, C, puissent y être regardées comme constantes et nous choisirons les axes de façon que B et G et par conséquent -^j -j^ soient nuls.

Écrivons que les composantes de toutes ces actions. suivant Taxe des x se détruisent.

Pour éviter toute confusion nous appellerons pour un instant Xf y,z les coordonnées du point attirantes, tj, C celles du point attiré de sorte que :

Nous rappelons en outre que if désigne le potentiel du champ uniforme qui produirait jur chaque gphère çoildMQl''i<:^ leur polarisation actuelle, et que le potentiel actuel est égal à V + V^ = U. Nous continuerons à désigner les composantes

du champ uniforme par — -^i ^j t^*

d\ La composante due aux corps extérieurs sera -z^'

La composante due à la sphère s sera -f- j^ puisque, par hypothèse, la sphère est polarisée comme elle le serait sous l'action d'un champ uniforme d'intensité — j^*

55. Je dis que si la surface ts qui sépare les deux volumes |\ partiels v' et v" est convenablemen t choisie, Taction des sphères

^ autres que s et intérieures à «' sera nulle.

En effet soient a, 6, c les coordonnées du centre d'une de ces sphères le point 0 étant pris pourTorigine.La force électrostatique exercée par cette sphère au point 0 aura pour composante suivant Taxe des œ:

du d^ r 3m rf^; g^ + ^>a -f- ça -. 3a^