SUR LE CALCUL DE LA PÉRIODE

4* L'intégrale :

T= J(L» + M» + N») dT

étendue au diélectrique entier est égale à 1 Cela posé, envisageons l'intégrale :

dx) "^Kdo!

Cette intégrale ne peut s'annuler. En effet, si elle s'annulait on aurait :

dy dx di dcc dx dy

et par conséquent:

Ldx-\-iidy-\- ^dz = d<f

d<f étant la différentielle exacte d'une Tonction f qui doit être unirorme puisque les fonctioos L, H, N le sont (cette dernière partie de la démonstration suppose que la chambre est un a espace simplement connexe », c'est-à-dire n'a pas, par exemple la forme d'un ture). On a donc

-dy

tiz

Les conditions (3) signifient alors que Aip est nul. en tous les points du diélectrique et -^ nul en tous les points de la surface qui le limite. Hais cela ne peut avoir lieu que si f est une constante, c'est-à-dire si

Il est aisé de voir que cela est impossible puisque T == 1.

L*inlégrale U, ne pouvant s*annuler, admet un minimum. Il existe donc trois fonctions L, M, N pour lesquelles ce minimum est atteint.

Ces fonctions doivent être telles que BU = o, toutes les fois que ST = o ; que :

(liL f/5M rfSN __ 'eif/BL __

et que le vecteur (SL, SM, 8N) est tangent à la surface des conducteurs en tous les points de celte surface. Cette dernière condition s'exprime par Téquation :

(4) Hh + mm + nSN = ^/SL = o.

Posons pour abréger :

X— — — — , Y— l^__f^, z~ — — — dy dz dz dx dx dy

11 viendra :

8T = 2 j{\M. 4- MôM + N8N) d^ ôU = 'lJ(XlX-\- Y8Y + ZaZ) dx'

La valeur de 8U peut être transformée par Tintégration par parties ; on Iroine :

f\Z\(h =j'x (wiSN — nSM) i/to —f (îN ^ — 8M ^^ <h

SUR LE CALCUL DE LA PÉRIODE Ui

de sorte que la condition 8U = o peut s'écrire :

SLSMSN

--/Ehr^-i)]"'-

Cette condition doitétre remplie quelles que soient les variations ZLy $M, SN, pourvu qu'elles satisfassent aux relations (3j et (4) et à la relation 8T = o.

Le calcul des variations nous permet d'en conclure ce qui suit :

On peut trouver un nombre Kfjt.^ et deux fonctions ^ ei ^ telles que la condition :

soit remplie quand les variations 8L, BM et 8N sont absolument quelconques. Nous transformerons encore Tune de ces intégrales par l'intégration par parties en écrivant :

L'équation (5) peut alors s'écrire ; ;

*s["-(f-s-vt-â)]+

-I- J\/.., [SL (Yn Zw + [ç -f ^-] t)] = o.

m ÉLECTRICITÉ £T OPTIQUE

On doit donc avoir dans lous les points du diélectrique

,. «, ilZ d\ dzf ' ay dz dx

^ ' ' dz dx dy

^ .>^, dX d\ f/cp dx dy dz

et en tous les points de la surface des conducteurs :

Zm — Yn = / (<p + +) [1) \n — VA ^ m (cp + fi

XL — Xm z= yi (cp -f- 'f)

Si l'on ajoute les trois équations (7j après les avoir respectivement multipliées par /, m, n, il vient :

Donc 7 -H '{^ est nul en tous les points de la surface des conducteurs et on a:

ce qui est une des conditions que nous nous sommes imposées.

On peut en tirer la conséquence suivante :

Envisageons Tintcgrale

J[\dx + \dy -f Zdz) =J^Xdx prise le long d'une courbe fermée quelconque tracée sur la

SUR LE CALCUL D£ LA PÊRiODË ^43

surface des conducteurs. Celte intégrale est nulle puisque le vecteur X, Y, Z est normal au conducteur, ce qui est exprimé par réquation (8). Si nous transformons cette intégrale simple en intégrale double par la formule connue, il vient :

iVi iPi

S'ii-s)"-»

et comme cela a lieu pour un contour formé quelconque :

\dy dz )

Ajoutons les équations (6) après les avoir diiïérentiées par rapport à a:, y et z^ il vient

"^■sf = - ^-

Mais on a par hypothèse :

dx di/ * dz

Il reste donc :

Acp = o.

En un point de la surface des conducteurs, on a, en ajoutant les équations (6) multipliées respectivement par /, m, n et tenant compte de la relation (9) :

mais on a par hypothèse en tous les points de la surface :