SUR LA RÉSONANCE MULTIPLF

MM. Sarrasin et de la Rive ont obsorvé qne dans les phônomènes d'interférence, la longueur d*onde observée dépend des dimensions du résonateur et fort peu de celles de l'excitateur. C'est le phénomène qu'ils ont appelé résonance multiple et dont ils ont donné l'interprétation suivante :

L'excitateur ne donnerait naissance ni à une vibration unique de période parfaitement déterminée, ni même à un certain nombre d'harmoniques distinctes ; son spectre, si j'ose m'exprimer ainsi, ne serait formé ni d'une, ni de plusieurs raies fines et distinctes; ce serait un spectre continu ou plutôt il serait formé d'une bande très large dont les bords seraient fortement estompés.

Il convient d'ajouter que cette bande parait beaucoup plus large dans les expériences où l'on fait interférer les ondes dans un fil métallique que dans celles où on les fait interférer dans l'air. Le résonateur renforcerait ensuite, parmi toutes les vibrations émises par l'excitateur, celle qui serait d'accord avec sa période propre.

Cette interprétation est évidemment en désaccord avec la théorie ; mais ce n'est pas là un argument à invoquer contre

olle ; car cette théorie est encore bien mal établie et lors même qu'elle le serait, elle ne serait encore qu'une première approximation .

J'ai proposé néanmoins une explication différente que j'ai communiquée par lettre k quelques savants. Bien que je ne l'ai mise en avant que timidement, je crois devoir la reproduire ici.

Dans la vibration émise par un excitateur, deux choses sont h considérer, la période et le décrément logarithmique. Diverses raisons me portent à penser que ce décrément est beaucoup plus grand pour l'excitateur que pour le résonateur. L'intensité des vibrations émises par l'excitateur irait donc en diminuant très rapidement de telle sorte qu'elles seraient de durée très courte et peu capables d'interférer. Il n'en serait pas de même des vibrations propres du résonateur. Qu'arriverait-il alors? Le résonateur serait mis en train par l'excitateur, pourvu que les périodes ne soient pas très différentes, puis il continuerait à vibrer apn>s que l'excitateur serait revenu au repos ; mais il vibrerait alors avec sa période propre et ce sont ces dernières vibrations, d'une durée beaucoup plus longue et susceptibles d'interférer, que Ton observerait.

M. Hertz à qui j'avais communiqué cette manière de voir m'a répondu ce qui suit:

« Les expériences de MM. Sarrasin et de la Rive sur l'usage de divers résonateurs me plaisent beaucoup et me semblent fort belles, mais leur explication par un spectre continu émis par le primaire me déplaît absolument. Ma manière de voir est certainement très rapprochée de la vôtre; peut-être estelle tout à fait la même. Si le primaire produisait une vibra-

SUR LA RÉSONANCE MULTIPLE i51

tion régulière et continue, repre'sentée par la sinusoïde A, il ferait vibrer les résonateurs en harmonie mille fois mieux que les autres. S*il ne produisait qu*un simple choc, il ferait vibrer tous les résonateurs également bien. La vérité est entre ces deux extrêmes ; la vibration du primaire aura la forme B (une courbe représentant une série d'oscillations d'amplitude décroissante). Elle fera donc vibrer tous les résonateurs, mais ceux qui sont en harmonie mieux que les autres.

«Ou la même chose prise mathématiquement : si nous voulons représenter la forme A comme une somme de sinus, nous n'aurons qu'un seul membre. Si nous voulons représenter la forme B, nous devrons employer une intégrale de Fourier qui contiendra un nombre infini de sinus de toutes longueurs. Mais on ne saurait dire pour cela que la forme B n'ait pas de période distincte ni qu'elle soit équivalente à un spectre continu. »

Bien qu'exprimée en termes absolument différents, l'opinion de M. Hertz est donc parfaitement d'accord avec celle que j'ai cru pouvoir émettre plus haut.

Quoique la complication des phénomènes se prête assez mal au calcul, je ne crois pas inutile de donner ici un petit développement analytique qui se rapporte à un cas plus simple que la réalité mais certainement analogue.

L'équation qui exprime un mouvement vibratoire décroissant quelconque peut toujours se ramener à la forme

y désignant une variable convenablement choisie qui définit l'amplitude de la vibration ; y et y" ses dérivées par rapport

252 Ér^CTRICFTÉ ET OPTIQUE

au temps, a et p des constantes. L'intégrale de cette équation est

y == ^-«' (A cosm/ + H sinm/") m = V^ — *'

m définit ainsi la période et a le décrément. Si ce décréntient est négligeable (et nous supposons par une approximation

grossière qu'il en est ainsi pour les résonateurs] a = o, p= »?•

et il reste

Si le mouvement e&t troublé par une perturbation émanée de l'excitateur et que a et n désignent respectivement deux nombres dont dépendent le décrément et la période propre;? de Texcitaleur, cette équation deviendra:

// -|- m^y = Xe'^* cosw^-|- B6'-'»' sinn^

L'intégrale de cette équation est :

y z=i A^e-^* cos nt -}- B^e-^' sîn n/ -f- G cos mt + ^ ^in mt avec les conditions :

A^ {m^ + «^ — n^) — ^rlB^ = A B< (w2 4- «2 ^2) ^ 2flnA, = B.

Si l'on suppose qu'à l'origine des temps on ail :

y =zy' = o il viendra :

A^ + G = 0 — ^^a -{- B^n + Dm = o.

Au bout d'un temps très grand, les tormes qui contiennent l'exponentielle e-"^^ disparaîtront de sorte qu'il restera

y ^= C cos mt -f D sin mt

SUR LA RÉSONANCE MULTIPLE io3

et que rampliludc de roscillation sera proportionnelle à :

Si a est très petit et m très voisin de n ; cette quantité diffère très peu de :

L'amplilude de la vibration excitatrice restant constante , celle de la vibration résultante est en raison inverse du radical

y/l^rn'i + «^ — n^)* + Aa^n^.

Quand m varie, ce radical admet un minimum égal à 2 an pour w* = n^ — a^. Ce minimum correspond au résonateur en harmonie.

Si a est nul, ce minimum est nul, Tamplitude correspondante infinie et le résonateur en harmonie vibre, comme le dit M. Hertz, mille fois mieux que les autres.

Si a n'est pas nul, ce minimum n*est pas nul et Tamplitude de vibration du résonate.ir en harmonie est plus grande que celle des autres, mais du même ordre de grandeur.

Doit-on admettre que Texcitateur a un décrément plus grand quand on lui adjoint deux fils conducteurs très longs pour mesurer la propagation dans les fils, que quand il en est débarrassé? Gela expliquerait pourquoi la « bande spectrale » apparente est plus large dans le premier cas que dans le second.

Doit-on admettre qu'un résonateur rectiligne et ouvert a

un décrément plus grand qu'un résonateur circulaire? Cela expliquerait peut-être pourquoi l'on n'a pu obtenir d'interférences dans les ûls avec les résonateur»; rectiiignes.

Mais toutes ces questions sont bien prématurées et ce n*est que dans un grand nombre d'années qu'il pourra être utile de les poser. D'ailleurs d'autres explications sont possibles.