Une indétermination du même genre a lieu pour les

/> I / y j formules du § 118 qui donnent les composantes ti, v^ to de la

J vitesse d'un courant en fonction de a, p, y, mais il est facile

de la lever en n^ontrant que dans ce cas on ne doit pas prendre les composantes^ de l'induction.

En effet, plaçons-nous dans le cas particulier où le circuit mobile n'est traversé par aucun courant ; nous aurons alors u = 17 = to = 0. Si donc on prenait les composantes de Tinduction il viendrait

de db ^^ da dc^ db da

dy^' dz ' dz dx * dx dy '

conditions qui ne sont pas satisfaites en général. Nous ne pouvons donc prendre les composantes de l'induction et nous

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devons conserver les composantes a, p, y de la force magnétique. Nous nous contenterons de ce double aperçu, en l'absence d'une théorie plus satisfaisante.

188. Détermination des composantes du moment électromagnétique. — Abandonnons le cas où le courant mobile se ment dans un milieu magnétique et cherchons les composantes F, 6, H du moment magnétique.

Les trois équations différentielles (3) ne suffisent pas pour déterminer ces quantités car il est facile de voir que si F, G, H est une solution de ces équations, le groupe de valeurs

^, G + fi, H+^

où X est une fonction quelconque des coordonnées est également une solution du système. En effet, le second membre de la première des équations devient quand on substitue à F, G, H les valeurs précédentes,

dy\ ^^dz) dz\ dy) dy^^ dydz dz dydz

rfH dG

dy dz

et le dernier membre de cette suite d'égalités est égal à x puis que, par hypothèse, F, G, H forment une solution du système. On verrait par un calcul semblable que les deux autres équations sont également satisfaites.

184. Pour déterminer les composantes F, G, H nous devons donc leur imopser la condition de satisfaire à une nouvelle

équation. Maxwell prend pour cette équation de condition,

En tenant compte de cette relation il est possible de trouver entre les composantes u, t?, to de la vitesse du courant et les composantes F, G, H du moment magnétique trois relations qui nous permettront d*obtcnir les valeurs de ces dernières quantités. Nous avons, d'après les formules du § 118 et les formules (3) du § 130.

dt/ dz dxdy dy^ dz^ "'" dxdz

ou, en ajoutant et retranchant au second membre la quantité

rf*F

--7^ et groupant les termes d'une manière convenable

^^^__rf^ , jrf^ , ^m d^Y ^d^F d^F dx* * dxdy ' dœdz dœ^ dy^ dz^

ou enfin

Si on suppose que l'équation (5) est toujours satisfaite, c'està-dire qu elle est une identité, les dérivées partielles de J sont nulles et la relation (6) se réduit à

AF + ^Trti = o.

Cette équation étant analogue à l'équation de Poisson, F peut être considéré comme le potentiel d'une matière attirante de densité ti. D'après ce que nous savons sur la forme

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du potentiel qui Satisfait h une telle équation nous pouvons poser immédiatement

l'intégrale étant étendue à tous les éléments d-ç de l'espace tout entier ; u est la valeur de la première composante du courant au centre de gravité de l'élément d-ç et r est la distance de cet élément au point a?, y, z. Nous obtiendrons par des calculs analogues

Ces valeurs de F, G, H satisfont nécessairement aux équations différentielles (3) ; montrons que l'équation de condition (5) est également satisfaite et pour cela cherchons les dérivées partielles de F, G, H qui y entrent.

185. Donnons à un point de coordonnées œ, y, z un déplacement parallèle à l'axe des x et de grandeur dœ; la distance de ce point aux différents éléments de la matière attirante fictive de densité u croit de dr et le potentiel F au point consi-

déré augmente de -rr- dœ. Mais supposons qu'au lieu de déplacer le point attiré a?, y, z, comme nous venons de le faire en laissant fixe la matière attirante, nous donnions aux divers points de la matière attirante un déplacement égal à — dx, en laissant fixe le point a?, y, z, cela reviendra absolumenl au même. L'accroissement dr delà distance du point attiré au point attirant sera évidemment le môme, si l'on donne au point

attiré an déplacement quelconque, ou si c*est le point attiré

qui subit un déplacement parallèle égal et de sens contraire.

Cela revient à supposer que la densité u au centre de gravité

du de l'élément devient après le déplacement, u -f-jr dx. Nous

avons .donc

/, du j ^

— ; d-^-J -dr,

la première intégrale étant étendue à tout le volume occupé par la matière attirante après le déplacement, la seconde au volume occupé avant le déplacement. Or ces deux champs d'intégration sont les mêmes puisque tous deux comprennent Tespace tout entier ; par conséquent, nous avons simplement

d'où

dF Ci^a dx J r dx

' Nous obtiendrions des expressions analogues pour les différentielles partielles de G par rapport à y et de H par rapport / à ^ ; leur addition donne

rfa? ' c?y ' dz

/i /du . dv . dw\ .

Tous les éléments de cette dernière intégrale sont nuls puisque, pour Maxwell, Télectricité est incompressible et

ÉLEGTRODYNAMIQUE

que réquation qui exprime cette incompressibilité est

rfw j^ C?£ ^^ C^

L'équation de condition (5) est donc satisfaite. '

186. Revenons au cas où le milieu étant magnétique, les ^-^«V,^ composantes F, G, H du moment électromagnétique sont t/^^ f -f- .'^4.' liées à celles de Tinduction par les équations (4). Il est facile ^/ f

de s*assurer que ces équations et Téquation de condition (5) seront satisfaites si Ton prend pour F, 6, H le produit des valeurs trouvées par le coefficient de perméabilité magné- . //^

tique p. du milieu ; nous avons donc

F=^ Arfx, G=, Arf., ""'A

dx.