Valeurs de F, G, H pour un courant linéaire
Plaçons-nous dans le cas particulier où en présence du courant mobile il n*y a qu'un seul courant dont le circuit est formé par un fil de faible section d<s. L'intensité de ce dernier
courant étant désignée par i, la vitesse de l'électricité est -j- et
la direction de cette vitesse est celle de la tangente au circuit menée dans le sens du courant. Les cosinus directeurs de
celte tangente sont -^j -^> -r- (en appelant ds l'élément d'arc
du circuit), de sorte que Ton a pour les composantes u, v, w de la vitesse de l'électricité
% dx i d^ i dz
dv ds d(5 ds d(5 ds
OU, puisque d^ds = dr^
te =
idz du'
Par conséquent la composante F du moment magnétique en un point de Tespace peut s^écrire
et nous avons pour les trois composantes
; Cdx
"='■ Tv"
188. Formule de Neumann. — Soit G {fig, 31) un circuit fixe parcouru par un courant d'intensité t, et C un circuit mobile parcouru pnr un courant d^intensité i'. Le potentiel électrodynamique T du courant C par rapport au courant G a pour valeur,
Dans cette expression F, G, H sont relatives au circuit C
puisque ce circuit est seul en présence du circuit mobile ; si donc nous supposons que ce circuit est formé d'un fil de faible section, F, G, H sont données par les expressions (8) trouvées précédemment et dans lesquelles r est la dislance du milieu de l'élément ds au milieu de Télément c^'. En portant
Fig. 31.
ÉLEGTRODYNAMIQUE 1 53
ces valeurs dans l'expression de T nous obtenons /
dœ dœ -|- dy dy -f- dz dz'
et, en appelant e Tangle des deux éléments ob et ds\
,^11 dsds' coss
Telle est la forme donnée par Neumann au potentiel électrodynamique d'un courant par rapport à un autre.
La symétrie de cette formule par rapport à i et T, à ds et ds montre que le potentiel électrodynamique de G' par rapport à G est égal au potentiel électrodynamique de G par rapport à G'.
189. Nouvelle expression du potentiel électrodynamique d'un courant. — La formule
T = î APefa?-}- Gdy + Hdz)
peut facilement se mettre sous une autre forme qui nous sera utile dans ce qui va suivre.
Des valeurs (7) établies au g 137 on tire immédiatement
idx = w^T, îdy = vdx^ idz = u?c?t,
et en portant ces valeurs dans l'expression de T, il vient
(10) T = /*(?» -j-Gw + Hm>) rfT. .'■'
l'intégrale étant étendue à Tespace occupé par la matière conductrice qui constitue le circuit mobile.
140. Potentiel électrodyuamique d'un courant par rapport à lui-même. — On peut par la pensée décomposer un circuit traversé par un courant en une infinité de circuits de section infiniment petite. Chacun des courants ainsi obtenus possède par rapport aux autres un potentiel électrodyuamique ; la somme de ces potentiels est ce qu'on appelle le potentiel du courant par rapport à lui-même. Cherchons Texpression de ce potentiel.
Soient u, v, w les composantes de. la vitesse de Télectricité en un point du circuit, F, 6, H les composantes du moment électromagnétique en ce même point, et T le potentiel du courant par rapport à lui-même. Si nous donnons à, ti, v, \o^ les accroissements du^ dv, dwy ces quantités F, 6, H, et T prendront respectivement les accroissements dF, dG, dH et dT. Le courant qui circule alors dans le circuit peut être considéré comme résultant de la superposition du courant primitif et du courant provenant de Taccroissement donné à la vitesse de l'électricité ; nous appellerons ce dernier, courant supplémentaire. L'accroissement dT du potentiel peut donc être regardé comme égal à la somme du potentiel du courant ancien par rapport au courant supplémentaire et du potentiel du courant supplémentaire par rapport à lui-même. Le potentiel du courant primitif par rapport au courant supplémentaire est, d'après l'expression (10) du potentiel d'un courant
HudF -f. vdG -f wdH) dr.
Quant au potentiel du courant supplémentaire par rapport à lui-même ce sera une quantité infiniment petite du second
ÉLEGTRODYNÀMIQUE 15S
ordre et on pourra le négliger ; on a donc
rfT = AwdP + rdG 4- wdR) dr.
Mais on peut considérer efT comme étant égal au potentiel du courant supplémentaire par rapport au courant primitif augmenté du potentiel du courant supplémentaire par rapport à lui-même. En négligeant ce dernier, il vient
dT =zC{Ydu -f- Grft? 4- Ht/tt?) d-z,
et en additionnant les deux valeurs de cTT puis divisant par 2,
dt = \j{tdu + ud? 4- Gdv 4- tjrfG -f Hrftr -f wdYi) dr, ou
rfT = ^ df{Fu + Gt? 4- Hw?) rfr,
L'intégration donne pour la valeur du potentiel du courant par rapport à lui-même
(11) T = |y(Ft< -f Gt> -f Hîo) dx.
141* Remarquons que le raisonnement qui nous a conduit à cette expression s'applique tout aussi bien au cas d'un système de plusieurs courants qu'à celui d'un courant unique. Cette expression représente donc d'une manière générale le potentiel électrodynamique d'un système de courants par rap* jpori à lui-même. Il faut alors étendre l'intégration à tout le volume occupé par les conducteurs matériels du système, ou bien encore à Tespace tout entier, ce qui revient au même
puisque le système est supposé n'être en présence d'aucun autre système de courants.
142. Expressions diverses du potentiel d'un système de courants par rapport à lui-même. — Nous avons établi au % 134 que la composante F du moment électromagnétique en un point de l'espace est donnée par la for* mule
r étant la distance du point considéré h Télément .de yolume éfV pour lequel la composante de la vitesse est u\ Au point de Fespace occupé par un élément de volume rfr d*un système de courants les composantes du moment électromagnétique relatif au système lui-même seront donc
En portant ces valeurs dans Fexpression (10) du potentiel électrodynamique^du système par rapport à lui-môme il vient
. Chacune des intégrales doubles du second membre de cette égalité doit être étendue à toutes les combinaisons possibles de deux éléments d't et dt\ Ces éléments appartenant au même système de courants, un même élément de volume joue le rôle de dt et de dx' et chaque intégrale contient deux fois le même élément différentiel. Si Ton ne prend qu'une
ÉLEGTRODYNAMIQUE 157
seule fois chaque élément différentiel il faut, dans l'égalité
précédente, porter le double du résultat obtenu par Tintégra-
tion ainsi conduite. Le facteur ^ disparaît donc et on a la
formule
±-HHl±J£E'rf,d/.
143. Dans Texpression (il) du travail électrodynamique, nous pouvons remplacer u, v, w par leurs valeurs:
w nous obtenons
"^ Ai:\dy dz) /) '
\'K \dz dx) 47r \dœ dy) '
.-=i;/[Ki:-i)+''(i-ê)+»(i-l)]
rfx.
Considérons l'intégrale
en intégrant par parties, il vient
m étant le cosinus de l'axe des y avec la normale à l'élément
158 ÉLECnUOTt ET OPTIQUE
<2w de U sarikceqoi limite le volume dlnlégration. Si, comme nous en aTons le droit, noos étendons les intégrales triples h Vespaee tout entier, les composantes a, p, y, de la force qui s'exerce sar an point de la sorface limitant le volume sont nulles, puisque le point est rejeté à Tinfini. Les éléments de Tintégrale double sont donc nuls et l'intégrale elle-même est égale à zéro. Nous avons donc simplement
or = — I T "IT »'^-
En effectuant une transformation analogue pour les antres intégrales de l'expression précédente de T et portant les valeurs obtenues dans cette expression» on obtient
^dx dt/j
144. Cette nouvelle forme du potentiel peut être simplî->*M*^ /^ fiée en tenant compte des groupes d*équation (3) et (4) qui donnent les valeurs des différences des dérivées partielles de F, G, H, dans le cas où le système de courants est dans un mi* lieu non magnétique et dans le cas où il est au contraire dans un milieu magnétique. Nous avons dans le premier cas
et dans le secood
'^=-tfi'^ + P^ + t'')'^^'
ÉLBGTRODYNÀIIIQUË 159
145. Cas d'un système de conducteurs linéaires. — Quand les circuits qui composent le système sont linéaires le potentiel électrodynamique du système par rapport à luimême peut se mettre sous la forme qu'a donnée Neumann an potentiel de deux systèmes de courants linéaires Tun par rapporta Tautre. En effet, d'après les formules (7) et (8) établies au § 137 les composantes de la vitesse de Télectricité eu un point sont
idx idy idz
et les composantes du moment électromagnétique au même point sont
En portant ces diverses valeurs dans l'expression (9) elle derient
dœdaf -\- dyd\/ + dz dz*
ou, en appelant ( Tangle formé par deux éléments quelconques du système de courants,
