Pour transformer l'expression (1), écrivons les lois
d'Ohm pour chacun des circuits en obseryànt que, puisqu'il y a déplacement des circuits il y a production de forces électromotrices d'induction ; nous avons
et
En multipliant les deux membres de ces relations respectivement par i^cU et i^cUj nous obtenons
E^i^dt — Yi^i}dt = — i^d (At^ + Bt,), et
E^,rf< — Rjt'îrf/ = — i^d (Bt| 4- CtJ.
Si nous remplaçons les quatre premiers termes de Texpression (i) parla somme des seconds membres des relations précédentes, nous avons
(2) — i\rf(At^+Bij)— tjrf(B/^+Ct2)-|[i7c?L4-2tV*jC?M4-tleW].
Dans le cas où il n*y aurait ni déplacement ni déformation des circuits cette expression se réduirait à
— ki^di^ — Bt^tftj — ^x^di^ — ÇA^di^ ou
-\d (Al? -f. 2Bt,t, -1^ Cil) ;
elle serait donc la différentielle exacte de la quantité
(3) - I (Ai-Î + 2BtV, + Cil).
Quand il y a déplacement des circuits la différentielle de cette quantité est
et pour que Texpression (2) reste la différentielle de la même quantité (3) il faut qu*il y ait identité entre cette différentielle et le développement de l'expression (2) qui est
— At|rft| — Btieft j — BijC&i — Ctjrfij — iJrfA — 2t|t,eœ — t JdC
L'identification donne les relations
I c?A = rfA + I dL, rfB = 2rfB 4- rfM,
qui se réduisent à
rfA = --û?L rfB=: — rfM rfC = — rfN
d'où l'on tire en intégrant et en supposant nulle la constante d'intégration
Ainsi les coefficients qui entrent dans l'expression des forces électromotrices d'induction sont, au signe près, les coefficients L, M, N de Texpression du potentiel électrodynamique du système de courants. Aussi appelle-t-on souvent coeffi-
168 ÉLFXTRIGITÉ ET OPTIQUE
cients d*induction ces derniers ; L et N sont des coefficienU dé self-induction et M le coefficient dCinduction mutuelle des deux courants.
151. Théorie de Max'well. — La théorie de l'induction sous la forme que nous venons de lui donner, a été développée pour la première fois par Helmholtz dans son mémoire sur la Conservation de la force et peu de temps après par sir W. Thomson ; celle de Maxwell est différente et plus complète à bien des égards. On peut en effet, par l'application des équations de Lagrange à l'étude du mouvement des molécules du fluide impondérable que Maxwell suppose présider à la manifestation des phénomènes électriques, retrouver les lois de l'Induction et celle de rÉlectrod3n[iamique.
152. Dans les chapitres qui précèdent, nous avons été amenés à conclure que les hypothèses faites par le savant anglais n'élaient que provisoires, et que, tout en nous satisfaisant mieux que Thypothèse des deux fluides, elles n*avaient pas, même aux yeux de leur auteur, plus de réalité objective. Au contraire nous touchons ici, à ce que je crois, à la vraie pensée de Maxwell.
Au début de sa théorie, Maxwell fait les deux hypothèses suivantes :
1® Les coordonnées des molécules du^fluide impondérable dépendent des coordonnées des molécules matérielles des corps soumis aux phénomènes électriques et aussi des coordonnées des molécules des fluides hypothétiques (électricité positive et électricité négative) de la théorie ordinaire de l'Électricité; mais nous ignorons complètement la loi de cette dépendance ;
2® Le potentiel éiectrodynamique d'an système de courants n*est autre que la demi-force vive du fluide de Maxwell; c'est donc de l'énergie kinétique.
153. Pour introduire dans les équations de Lagrange les paramètres qui définissent la position d'une molécule du fluide de Maxwell il faut, par suite de la première hypothèse, connaître les paramètres qui définissent la position d'une molécule de nos fluides hypothétiques. Or la position d'une molécule d'électricité A qui parcourt un circuit linéaire C est parfaitement déterminée si on connaît d'une part, la position du circuit dans l'espace, et d'autre part, la longueurs de l'arc OA. compté à partir d'une origine déterminée 0. Par conséquent
si X^^ X^, ^31**. sont les pflramMrPft qui ri^fipîggpnf la pnftîfi^n
des molécules matérldles qui constituent le circuit, la position d'une molécule du Qyjflp impondérable de Maxwell dépend des paramètres s, œ^, œ^^ œ^.
Mais, au lieu de s on peut prendre une fonction de cet arc car la connaissance de cette fonction permettrait de déterminer 8 et par suite la position d'une molécule d'électriidté sur le circuit G ; Maxwell prend la quantité
y= fi
idt
qui est, ainsi que nous allons le démontrer, une fonction de s.
En effet la section du conducteur, qui peut être variable d'un point à un autre, est une fonction <p {s) de l'arc s; la vitesse de l'électricité, quotient de l'intensité par la section du
t conducteur est alors— 7-7 et comme cette vitesse a aussi pour
470 ÉLBGTRIGITË ET OPTIQUE
valeur -r-» nous devons avoir dt
ds i
dl "" <p(«)'
d'où nous tirons,
et
fidt=f<f{s)ds = ^{s)
Sq étant la position de la molécule d'électricité à l'origine dés temps. Par conséquent, y est une fonction de s seulement et nous pouvons prendre pour les paramètres dont dépend la position d'une molécule du fluide impondérable de Maxwell les quantités y, œ^, œ^,.„ a?«.
154. Application au cas de deux oirouits. — Si nous désignons par t| et t, les intensités des courants qui traversent ces circuits et si nous posons
la position d'une molécule du fluide impondérable de Maxwell dépendra des paramètres y^ et y, ^^ des n paramètres œ^^ rr^i Xn qui définissent la position des molécules matérielles des conducteurs. Par conséquent le mouvement du système formé par les deux courants sera donné par un système de n 4~ ^ équations de Lagrange
d dl" ^ —n dtdqi dqt'^^^'
INDUCTION 17i
OÙ qt est un quelconque des paramètres et Q/ le coefficient de Iqi dans l'expression
du travail correspondant à un déplacement virtuel du système.
155. L'énergie kinétique T qui entre dans ces équations est la somme de la demi-force vive T^ des molécules matérielles du système et de l'énergie kinétique des molécules du fluide impondérable je MaxwjgU. Cette dernière étant, d'après la seconde hypothèse, le potentiel électrodynamique du sys* /^) tème par rapport à lui-même, nous avons dans le cas cousi- / déré où deux courants seulement sont en présence.
T = T, + 1 (Liî + 2M Va + Niî).
Le premier terme T^ de cette somme ne dépend que des dérivées a?!, œ'^,,,^ Xn des paramètres a?^, a?,... oon^ des molécules matérielles.
La position des molécules du fluide impondéreible dépen* dant des paramètres y^, ^2» ^o ^s-*- ^n l'ensemble des trois derniers termes de la somme précédente pourrait dépendre de ces n -|- ^ paramètres et de leurs dérivées. Hais L, M, N, ne dépendant que de la forme et de la position relative des circuits, sont des fonctions de â?|, 072.-. ^^ seulement ; de plus t| et i^ sont, d'après les intégrales qui définissent y\ 6t ^2» 'es dérivées y[ et^j ^e ces quantités par rapport au temps. Par conséquent Ténergie kinétique des molécules du
fluide impondérable dépend uniquement de œ^,œ^... œ^ et de
156. Occupons-nous maintenant du second membre des équations. Si nous supposons le courant qui parcourt le circuit C| entretenu par une pile de force électromotrice E^, la quantité d'énergie voltaïque qu'elle fournit pendant le temps dtesi E^i^df. ou E^Zy^. Or dans les idées de Maxwell la force électromotrice est une force, qui agit sur les molécules du Juide impondérable ; par suite E^By. est un travail résultant du déplacement des molécules de ce fluide.
Mais la force électromotrice de la pile n*est pas la seule force qui agit sur les molécules du fluide impondérable ; il faut encore tenir compte de la résistance qu'oppose le milieu au mouvement de ces molécules et dont le travail se retrouve sous forme de chaleur dans le conducteur. La* quantité de chaleur ainsi produite étant, d'après la loi de Joule, R^t^c^^le travail acccompli par le fluide impondérable est — R^^}cUf ou — R^t^Sy^.
Nous avons donc pour le travail du fluide impondérable dans le circuit G|
et pour l'ensemble des deux circuit
Quant au travail des molécules matérielles, il ne dépend que des paramètres a7|, a?^» ••• ^n î nous le représenterons par
X|8a7| -(- XjSojj •.."}- ^/fi^nt de sorte que nous aurons pour le travail accompli dans un
déplacement virtuel tant par les molécules du fluide impondérable que par les molécules matérielles
et il nous faudra, dans chacune des équations de Lagrange, prendre pour second membre le coefficient de l'expression précédente qui se rapporte au paramètre considéré.
