Expression des forces électrodynamiques

Si nous désignons par X(/t, Ydt, Zdt les composantes de la force électrodynamique due à Taction du courant Gj sur un élément x^y^ z du circuit C|, le travail de ces forces quand Télément se déplace de Icc^ Sy, Iz sera

(X8a? -t- Y8y -f- Zlz) d-ç ;

par suite le travail des forces électrodynamiques qui agissent sur Cf sera, quand le circuit tout entier se déplace ou se déforme,

Jd-c (XSa? 4- Y8y + Hz),

l'intégration étant prise le long du circuit C^. En égalant cette expression du travail à celle que nous avons trouvée précédemment nous obtenons la relation

(1) Çd'z (X8a? + Y8y -f- Uz) = ifif[la -f- mô -f- ne) dtù,

dont nous allons évaluer le second membre. Soient G^ {fig, 32) la position initiede du circuit G^ et C[ sa

position finale. Nous pouvons par ces deux positions faire passer une surface A et prendre pour \^* champ d'intégration de

/ [la -\- vib -}- wc) diù,

Flg. 3-2.

Taire limitée sur cette surface par la courbe C^. La variation de cette intégrale quand le circuit passe de G^ en C4 est alors la valeur de cette même intégrale

INDUCTION iT7

étendue à Taire comprise entre les deux courbes. Pour trouver cette valeur considérons un élément mn du courant G| dont la position après le déplacement est m'n\ La figure mn m'ti peut être considérée comme un parallélogramme dont le côté nm a pour projections dx^ dy^ dz et le côté mm\ égal au déplacement, lœ, ly, Ix; nous avons donc pour les aires des projections de ce parallélogramme sur les plans de coordonnées

Wo) = lydz — Izdy^

mdiû = Zzdx — ^dz^

ndiù = hœdy — hydz^

et, par conséquent,

8 i{la -f- wô + ne) day = ja {tydz — 8 zdy) -f- à {tzdœ -— Zœdz)

-f" ^ (5a?G?y — Zydœ En portant cette valeur dans Tégalité (i) il veut,

fdt (XSo? + Y8y + ZZz) = t\f{cdy — bdz) lœ + {adz— cdœ) ly

[hdx — ady^ Iz ; ce qui nous donne en identifiant

Xc?T = «I {cdy — bdz), Yû?T = t| {adz — cdx)^ Zdt = i| (bdcc — ady). /

Mais on sait que

udt = ^^dœ, vdx = «^(iy, wd'z = i^dz^

par conséquent, les trois équations précédentes peuvent

ÉLECTRICITÉ BT OPTIQUE. 12

s'écrire

\=z cv -^ bw (2) { Y = aw — cu

Z = bu — av,

161. Cas d*an nombre quelconque de courant. — Forces électrodynamiques. — Les formules précédentes s'appliquent au cas où un nombre quelconque de courants G29C3..., Cj,, agissent sur l'élément considéré du circuit G4. En effet, appelons a,, à^^ Cj, 03, 63..., c» les composantes de l'induction magnétique due aux divers courants au point où se trouve l'élément de C4. La force électrodynamique produite par l'ensemble des courants est la résultante des forces produites par chacun d'eux ; sa composante suivant l'axe des x est donc

Jl = CjO — b^to 4- c,t? — b^w -f ... + CnV — Ô«tt?, ou

X = (c, + C3 -f- ... + c«) r — (ôj + *, -f- ... -f^ b^) w

ou, enfin, en désignant par a, b, c les composantes suivant les trois axes de la résultante des inductions magnétiques dues aux courants G,, C3... Gn

X = et? — bw.

On peut également tenir compte de la force électrodynamique due au courant C^ lui-même. Pour cela décomposons ce courant en deux portions, Tune ne comprenant que l'élément considéré, l'autre, le reste du circuit. On peut négliger l'action de la première portion sur elle-même et on est alors

ramené à la recherche de la force électrod3n[iamique due à l'ensemble de n courants c^, Cj, c,... Cn. Si donc on appelle a, b^ c les composantes de Tinduction magnétique due à tous ces courants on a encore pour la composante suivant Taxe desâ?

X = cv — bw.

Les formules (2) sont donc générales.

162. Forces électromotrices d'induction. — Nous avons trouvé que, lorsqu'il n'y a qu'un seul courant Gj placé en présence du courant C^ la force électromotrice totale d'induction développée dans le circuit C^ est

Le terme --^ ne dépendant que de l'action du courant C^ sur lui-même, la force électromotrice d'induction due seule-

dMi

ment au courant Cj est donnée par —t^^ dérivée que nous

allons mettre sous une autre forme.

La variation SRIt, de la quantité Mij, quand le circuit G| se déplace et que les intensités des courants varient, peut être considérée comme la somme de la variation résultant du déplacement, les intensités restant constantes et de la variation due au changement des intensités dans les circuits supposés fixes. Or nous avons démontré.^..(irS7) que la variation de Mtft, due au déplacement relatif des deux circuits dans lesquels les intensités conservent les mêmes valeurs, est

SMi^ta^i^ Ça{%ydz^lzdy)'\'b[lzdœ--%x(h)'\'C{lcr(Jy'---hj(h') ;

par conséquent, nous aurons pour la variation correspondente de Mt,, l'intégrale du second men^bre. Pour avoir la variation de Mt2 résultant du changement 2 des intensités prenons^lft^i^ sous la forme

Mi^tj = t^ Ç^dx + My + YLdx.

Puisque les circuits ne se déforment ni ne se déplacent, le contour d'intégration reste le même et la variation de Mij se réduit à

ftFdœ'{-ZGdy+mdz.

Nous aurons donc pour la variation totale de Mt^

Ja {tydz — tzdt/) + b {Zzdcc — Zœdz) + c [lœdy — lydz)

+ JlYdx -f-SGrfy -j- mdz

et par suite, pour la force électromotrice d'induction

-7^ = — j a{y'dz — z'dy)'\^h[z'dx — z'dz) '\-c{œ'dy^y'dx)

ou encore

rfM«a / / , . , dP\,.(. , dG\,

-{-[bx-ay'-^yz

168. Si nous désignons par P, Q, R les composantes suivant les trois axes de la force électromotrice d*induction par unité de longueur, la force électromotrice dans le circuit C| est donnée par Tintégrale

fpdx + Qdy + Mz.

En identî6ant avec Texpression précédente de la force électromotrice nous obtiendrons trois relations dont la première est

Nous en tirons par différentiation

(1) P=ey'-Jz-f;

mais il est évident que nous pouvons ajouter au second membre de cette dernière relation la dérivée partielle — r;J^ d'une

fonction uniforme — ^, car, en intégrant, l'intégrale relative à ce terme sera nulle et la relation (i) sera encore satisfaite. Nous avons donc pour les composantes de la force électromotrice d'induction par unité de longueur

^ dt dx

(2) { Q = az'-caf~^-^ r/^ '\ ' .Vv 7^

^ ' dt dy . , , >

lft4. Montrons maintenant que ces équations sont encore applicables au cas où un nombre quelconque de courants C,, C„... C„ sont en présence du courante |.

La force électromotrice dlnduction développée dans G | par l'ensemble des n— 1 autres courants est égale à la somme des forces électromotrices développées par chacun d'eux ; on a donc pour la composante P,

Or 5j^®'5j ^ sont les composantes suivant deux des axes de

l'induction magnétique au point considéré sur G| ; Vf est la

composante du moment électromagnétique au même point ;

quant à V<J/ c'est une fonction uniforme des coordonnées. Par

conséquent la première des équations du groupe (2) s'applique au cas d'un nombre quelconque de courants pourvu que l'on prenne pour h, c, et F les valeurs de ces quantitée dues à l'ensemble des courants agissants. On verrait de la même manière que les deux autres équations sont également appliceibles.

tf».

165. On peut aussi tenir compte de l'action du courant C| sur lui-même. En effet nous pouvons considérer le circuit G4 comme formé de deux portions, Tune se réduisant à l'élément de circuit pour lequel on cherche les composantes de la force électromotrice, l'autre comprenant le reste du circuit. Cette dernière portion peut être confondue avec le circuit C4 lui-même, de sorte que si Ton néglige Tinduction de Télément sur lui-même l'induction provient des n circuits C| Cj,... C«. Les composantes de la force électromotrice seront donc données par les formules (2) où a, b, c, F, G, H seront les valeurs dues à tous les courants.

1S6. Signification de ^. -— La fonction ^ est une fonction quelconque des coordonnées assujettie à la seule condition d'être uniforme. Maxwell admet que c'est le potentiel électrostatique résultant des masses électriques qui peuvent exister dans le champ. .

Cette hypothèse aurait besoin d*étre vérifiée expérimentalement par la concordance entre les valeurs mesurées des forces électromotrices d'induction et les valeurs fournies par les équations (2) où ^ serait donnée par l'expérience et les quantités a, 6, e F, 6, H par les formules

a = a -f- 47cA, ô = p 4- 47cB, c = Y -|- AitCf et

Toutefois il est toujours permis de prendre pour ^^ le potentiel électrostatique car les quantités F, G, H n'ont pu être déterminées qu*en les supposant liées par Téquation différentielle

— 4- — 4- — =0 dœ dy* dz

et nous sommes libres d*abandonner cette hypothèse. Si nous n'avions pas introduit cette, hypothèse nous aurions trouvé pour F, G, H des valeurs de la forme

rbitrair(

^ dx

composantes P, Q, R de la force électromotrice par unité de longueur

n ' ji ' I dudt d^f d^

P = Cy — OZ — I -;- — — -7-^^ — -il

^ J dt r dxdt dx

n f » l dvdt d^/ d^

D , , . I dtodt d*/

Il est donc toujours possible, en choisissant convenablement la fonction arbitraire ;^ de faire en sorte que la fonction ^ qui entre dans ces équations et les équations (2) représente le potentiel électrostatique.