CHAPITRE
FORMULE D'AMPERE
1. Action de deux éléments de courant. — Ampère avait la prétention de ne rien emprunter qu'à Texpérience (*). Cette prétention n'est pas absolument juslifîée, car Texpérience ne peut porter sur deux éléments de courant. On peut observer l'action d'un courant fermé sur une portion de courant, mais non l'action d'une portion de courant sur une autre.
Si, en effet, la décharge d'un condensateur par exemple constitue un courant qui d'après les idées antérieures à Maxwell n'est pas fermé, ce courant est de trop courte durée pour qu'on puisse l'utiliser dans les expériences. On ne peut donc expérimenter que sur des courants fermés; on peut, il est vrai, par divers artiûces, rendre mobile une portion d'un des courants, ce qui permet d'étudier l'action d'un courant fermé sur une portion de courant (voir ce sujet discuté plus
(1) Le Ulro de son ouvrage esl : Théorie mathématique des phénomènes électro-dynamiques uniquement déduite de Vexpérience, 1826.
FORMULE d'ampère
loin, § 19); mais cette portion mobile reste toujours soumise à l'action simultanée de tous les éléments de l'autre courant fermé.
Ampère qui énonce une loi applicable à deux éléments de courant a dû par conséquent faire des hypothèses :
i® Pour avoir l'action d'un circuit fermé sur un élément de courant, il suffit de composer les actions des éléments de ce circuit fermé sur l'autre élément ;
^o L'action de deux éléments de courant est une
Fig. 1 .
force dirigée suivant la droite qui les joint. . Soient deux circuits C et G'. Soit A un point de G. Je définis le point A par la longueur s de l'arc OA comptée à partir du point fixe 0.
Soient AB et A'B' deux éléments appartenant respectivement à G et à G'. Soit 0' un point fixe de G' à partir duquel nous compterons les arcs.
d'où
Soient OA = * ; O'A' = «';
O'B' = *' + ds'
AB = ds. De même A'B' = ds\ Soient x^ y, z les coordonnées de A œ -|- dx^ y -}- rfy, z -f- dz, celles de B
i. dz' B'
La distance des deux éléments AB et A'B' est donnée par
(1) r* = {X - af)* -\- {y - t/y -\- (z - zy
r est fonction de s et s
Les cosinus directeurs de AB sont -r > -f-j -r
as as as
de AA' ^1^, y^^=^. ^1=^
Soient 0 Tangle de AB avec AA' 6' A'B' avec AA'
t des deux éléments AB et A'B'
On a:
dx X — X . dy y — y . dz z — z
ds r ^ ds r ^ ds r
/^x ; ./ d^' x'^x , dy' y ^y , dz' z —z
(2) cos e' = — , y -±, • ^ ^ + —.
^ ' \ ds r * ds r ^ ds r
dx ote' j^ dy d^ d£ dz^
^^^^~lh"ds^'^d^'ds''^ds ' rf?
Entre ces trois cosinus et les dérivées de la fonction r existent certaines relations.
On trouve en effet par différenliation :
dr Y^ X — x' dx
ds -Zj r ds
(dr' \r\ x' — X dx' ^,
FORMULE d'ampère 5
Différentions (3) par rapport à s\ ,„. dr dr , d^r vi ^' ^
d'où :
d}r dsds
•^ = cos 6 cos 6' — cos t
L^action de ds sur ds' est évidemment proportionnelle aux longueurs ds et ds des deux éléments et aux intensités i et t' des deux courants ; elle dépend d*autre part de la distance r des deux éléments et des angles 6, 0' et e. Elle ne peut manifestement dépendre d'aucune autre quantité. Nous pouvons donc représenter cette action par la formule :
h^dsdsf (r, 6, 6', s)
et il nous reste à déterminer la fonction f. Afin d'abréger les écritures nous supposerons :
quitte à rétablir à la fin du calcul le facteur ii'.
Ampère a emprunté à l'expérience les trois principes suivants qui serviront de point de départ à l'analyse qui va suivre :
1^ Le principe des courants sinueux;
2^ L^action d'un courant fermé sur un élément quelconque est normale à cet élément ;
3^ L'action d'un solénoïde fermé sur un élément quelconque est nulle.
Soit kdxds' l'action qu'exercerait sur ds' un élément de courant dx qui serait la projection de ds sur l'axe des x; de même hdyds et Cdzds. Le principe expérimental des courants
sinueux qui est le premier emprunt fait par Ampère à l'expérience, nous apprend que Taction de ds est la résultante des actions de ses projections et, comme toutes ces forces sont dirigées suivant la même droite AA', on a :
f (r, 0, 0', e) dsds = kdxds' -f- Myds' + Cdzds'
ds ^ ds * ds
La fonction f est donc linéaire par rapport aux cosinus directeurs de AB.
La fonction f dépend de r, 6', 6 et e ; r et 6' ne dépendent
pas des cosinus directeurs -T-»-r^>-7-î cosô et cos» sont li- '^ ds ds ds
néaires et homogènes par rapport à ces cosinus. Donc/*ne peut
être linéaire et homogène par rapport à ces mêmes cosinus
directeurs que si f est linéaire et homogène en cos 6 et cos e,
dr d^r ou, ce qui revient au même, en -r- et -j—rr
as osas
dv d'^v Elle est de même linéaire et homogène en -^-r et
ds' dsds'
dr dv Donc elle doit être linéaire et homogène en — * t> d'une
ds as
part et -f-Tf d'autre part.
Donc :
A et B sont en effet fonctions de r seul, et je puis poser:
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2. Pour déterminer ces fonctions, il faudra deux expériences. Ampère a montré qu'un arc de cercle quelconque mobile autour de eon centre ne se déplace pas, l'action tangenlielle exercée sur un élément quelconque de cet arc de cercle est donc nulle. Donc l'action d'un courant fermé sur un élément est normale k cet élément, c'est le second principe d'Ampère énoncé plus bant.
Donc l'intégrale :
l'intégrale étant prise le long du circuit G, qui est quelconque. Posons :
/ [-^ ('■) p'rf'- + 2t W ("'P] = o
l.a quantité sous le signe / est donc la différentielle exacte (l'une fonction des deux variables indépendantes r et p, c'està-dire qu'on a :
2p^.(r) = 2pç'M on:
Il nous reste & déterminer la fonction f,ce que le troisième principe expérimental d'Ampère nous permettra de faire ; en attendant, tirons tontes les conséquences des deux premiers principes et montrons d'abord que l'action élémentaire
[»'W^^ + *tM|5'>*
peut se raetlre sous la forme V , , ,> V et U étant fonctions de r seul.
-r- = U 3- > en écrivant U pour -7- • as as ^ dr
d^Vi __ ^, dPr , ^„ dr dr dsds' dsds ' ds ds*
Je remplace et j'identifie :
VU" = ©' VU' = 2(p
log U' = 2 log (p
u' = Vt
V = 2^^ = 2U' et l'action de deux éléments est mise ainsi sous la forme
MsdsV f-^-
3. Travail produit par un déplacement relatif de deux circuits. — Si nous donnons à r un accroissement 8r, l'action de rélément A.B sur A'B' produira un certain travail. Nous choisirons les signes, suivant les conventions ordinaires en électrodynamique, de façon que la force soit positive quand elle est attractive; alors le travail élémentaire dû à une variation 8r est :
rf^iT /Tan
— 2dsdsV'lr. ^, = — 2dsds'Z\] ^
dsds dsds
FORMULE d'ampère 9
et le travail dû à raclion totale d'un des circuits sur l'autre
est:
