T = -2/ / SU
Transformons, en intégrant par parties.
/du , / du
^ds=[uv]— I v^^ds = — I v'^ds
car le contour d'intégration qui n'est autre que le circuit G étant fermé, uo a la même valeur aux .deux limites d'intégration.
Donc :
8T=2 I I —l^.dsidi'
et comme rien ne distingue G' de G on a aussi :
='ffr§--
Donc:
-ff-
8T est raccroisseixient de la fonction
-J J dsd.-
dsds'
Le travail élémentaire est donc la différentielle d'une fonction T dépendant seulement des positions relatives des deux circuits. Cette fonction (*) est le potentiel électrodynamique mutuel des deux circuits. Celte forme élégante donnée à l'expression du travail élémentaire est due à M. Bertrand (^).
4. Npus avons ainsi démontré Texistence d'un potentiel pour Faction de deux courants fermés, en nous appuyant simplement sur le fait que l'action d'un courant fermé sur un élément de courant est normale à l'élément.
On peut, réciproquement, montrer que ce fait expérimental est une conséquence nécessaire de l'existence d'un potentiel.
Soit un élément AB, mobile suivant sa propre direction. S'il se déplace en A'B', le courant conserve la même position dans l'espace, il décrit le même circuit. Le potentiel électrodynamique, s'il existe, n'a pas varié, donc pas de travail, ce qui prouve que la force est normale au chemin parcouru.
Fig. 2.
(1) Le travail est, en grandeur el en signCf raccroissemenl du poluuliel, si Von convient, comme nous l'avons fait, de considérer comme positive uue force attirante.
(«) Théorie mathématique de l'électricilé (1890), { 131, p. 175.
FORMULE d'ampère 11
5. Détermixiation de la fonotion U. — Pour aller plus loin, il faut de nouveau recourir à rexpérience. Nous nous appuierons sur ce fait que Taction d'un solénoïde fermé sur un élément de courant est toujours nulle.
On a:
ou en tenant compte des équations (3) (page 4) :
^ ds J ds r ^ ds J ds r J
On peut écrire pour abréger :
T = J[¥dx -f- Gdy + Hrf^)
en posant :
„dry^-£^,
En effectuant les intégrHtions le long de C" on peut écrire :
P= / [x^x-)'^ dr= l [x--x')r(r)
dr
en posant:
Intégrons par parties : le terme fini est nul et Ton a : (^•) F = - P (r) ^^^ d^ = +//-(r) cto'
car
d(œ — a?') dx^
ds "^ ds'
Sous cette forme il est aisé de voir qu*on a :
En effet
car
dr dr
dx dixf
rfF dG , rfH doP^dy ' dz
FORMULK D*AMPftRR fA
Les quantités F, G, H dénnies plus haut sont ce qun Maxwnll appelle les composantes du potentiel vecteur Ad à un courAnt d'intensité i parcourant le circuit C. Pour avoir le potentiel vecteur dû à un courant d'intensité t parcourant )« mAme circuit» il faudrait multiplier par i les intégrales (ff).
6. Nous nous proposons maintenant de calculer le potentiel électrodynamique d'un solénoïde par rapport au cooraot C\ et d'exprimer que ce potentiel est nul quand le mAéwHA^, md fermé.
Nous avons trouvé :
T = f{Wda! ^ndi/ + Hdt)
P, G, H étant les composantes du potentiel vecteur <Mî hC/ f^ rintégrale étant prise le long de C.
Je vais d'ai>ord transformer T en une infégrale <^tendfie h Taire d'une sorfece passant par le contonr C ^ lîmit<*e h es coDioar [*)
dm étant an élém^l d#5 i'^lre ronmdérém, et /, m, n \t*n <r/>«lnos directeur» fie la normwl#^ à rM ^ï^m^l
Rappelons hriev^mi^t la d#f(lnitlon d'un «olen/rt/t^- fin -o^ lénoïde e«t un *^i?emM#? d'tin#r inrtmt-- U? / oiinuiU irillriîn»#^f petili construit» d#r I* rn*ni^e ^tiivanâ^^:
SoH un tr.! '1^ . /mittr /fii^riinruffUî f«^ l'.m/ipfiHk fât^ 'tn
U ÊIJUÏTRICITÉ RT OPTIQUE
solénoïde. Partageons cet arc de courbe en une infinité d*éléncients da tous égaux entre eux,
A chacun de ces éléments correspondra an courant élémentaire défini comme il suit:
1** L*int ensilé de ce courant sera i;
â*" Ce courant parcourra un circuit infiniment petit dont le plan sera normal k l'élément du ;
3<^ Ce circuit limitera une aire plane infiniment petite égale à dvi ;
4* Le centre de gravité de cette aire coïncidera avec le milieu de dts ;
5® Les valeurs de i et de diù seront les mêmes pour tous les courants élémentaires.
L*ensemble de ces courants élémentaires constituera le solénoïde.
Nous sommes convenus plus haut de supposer provisoirement e = 1 pour abréger un peu les écritures.
Soient donc un solénoïde et un élément d*arc d(s pris sur son axe et dont les cosinus directeurs sont l, m, n. Dans le plan normal à Taxe mené par l'élément c^a, circule un courant qui embrasse une eire infiniment petite doi. Le potentiel T dû à Taction de ce courant se calcule aisément. L'intégrale (10) se réduit en eff'et à un seul élément qui peut s'écrire :*
car :
dx = Ida dy = mda dz •= nda
FORMULE d'ampère
diù et d<s sont des constantes, quand on passe d*un élément du solénoïde à un autre. Pour avoir le potentiel dû au solenoïde total, il faut intégrer par rapport à dx^ dy^ dz le long de Taxe, et Ton a :
-ë/Hf-©+*(f-f)+-(f-S)]-
^. L'action d'un solénoïde fermé est nulle , donc la quantité sous le signe \ est une différentielle exacte, ce qui s'écrit :
dx \dz dœ) dy \dx dy ) ou, ce qui revient au même :
dx \dx ~^ dy "^ dz / Or, d'après l'équation (9)
c[P c[G c?H dx'^ dy'^
dz
par suite
AP = o
A/" (r) dx' ; il faut donc que A/'(r) soit une /V-^- - v. y^
constante, pour que l'intégrale précédente, prise le long d'un circuit fermé quelconque, soit nulle. En eiïet cette intégrale ne peut être nulle que si A/' (r) est fonction de a/ seulement. Mais A/* (r) est une fonction de r seulement. Elle ne peut donc être
fonction de x' qu*en se réduisant à une constante. Écrivons donc:
On tire de là :
La fonction /"(r) devant 8*annuler à Tinfini, Aet Asont nécessairement nuls, et il vient :
nr) = ^
L'expérience montre que A' = i en valeur absolue, il faut ici faire intervenir l'expérience.
Nous avons pu en effet, par une convention arbitraire,choisir l'unité de magnétisme, puis celle d'intensité de façon que le coefficient qui entre dans l'expression de l'action mutuelle de deux aimants soit égale à i,de même que celui qui entre dans l'expression de l'action d'un courant sur un aimant. Il n*en est plus de même ici ; nous ne disposons plus du choix de l'unité que les conventions précédentes ont fixée définitivement ; c'est donc l'expérience seule qui peut nous faire savoir que le coefficient K est bien égal à i.
De plus, nous devons prendre le signe -}->/* W = + ' î
c'est encore l'expérience qui l'indique, les conventions de signe étant celles qui ont été faites plus haut. Jusqu*ici nous n'avions considéré que des expériences dans lesquelles on avait une action nulle ; une nouvelle expérience pouvait seule décider si, entre deux éléments parallèles et de même sens, s'exerçait une attraction ou une répulsion.
FORMULE d'ampère 17
Ainsi
d'où:
dsds ds \ ds / (fs ds '
dsds' i dr dr . 1 d^r
2r* ds ds' r dsds
et la force attractive exercée entre deux éléments est :
^iVdsdsV' — - "^^^ (±.±^<^r—\ 211 osas u ^^, - ^3 ^^^ ^, .r ^^, j
On peut encore mettre cette expression sous la forme : ,,,, "iii'dsds' [ 3 ^ A
(11) jj — ( cos s — 3 C0S6C08 6 j
8. Relation entre la force électromagnétique et le potentiel vecteur. — On a vu dans le premier volume (n*** 111 à 113, p. 122^99), que l'action exercée parC, sur un pôle magnétique égal à 1 (^) est une force qui dérive d'un potentiel et dont les composantes sont :
dx
^ "" dy ^ ~" dz
(*) On peut avoir un pôle magnétique isolé, en considérant an solénoîde magnétique de longueur inflnie dont un seul p61e est à dislance unie.
ÉLECTBICITÉ ET OPTIOUB, 2
ifi ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE
Û est le potentiel magnétique dû à un feuillet limité au contour du circuit C\ et de puissance égale à Tintensité du courant. Soit c?<o' un élément de Taire limitée au contour C , et T, m\ n', les cosinus directeurs de la normale.
- est fonction de a? — œ\ y — y\ z — z' donc
-7" = r~r' etc.
dx dx
et
Transformons F = j f(r) dx' = j - dx\ en une intégrale étendue h Taire T rfo' limitée au contour C.
FORMULE d'ampère 19
De même
r ( ai é'-
J \ dx dy
Calculons
t/ \ dœdz dz^
Ajoutons : i
t/ \ cb)dœ dx^
-^ ^- == a — f aa).cA-r-a, car A - = o.
dy dz f r ' r
On a d'une manière générale, entre la force et Tinduction magnétique, les relations
Ia = a -^ iwA è = p + 47cB c =: Y+ 4irC
Dans un milieu non magnétique, A = B = C = o, et a, b, e, se confondent avec a, p y.
Les formules précédentes peuvent donc s'écrire
dy dz
^ ^ ^ dz dœ
dG dF dœ dy
