Énergie potentielle d'un système électrisé
Considérons un système de conducteurs chargés d'électricité positive et d'électricité négative. Ces charges représentent une certaine énergie potentielle. Dans la théorie ordinaire cette énergie potentielle est due aux travaux des attractions et des répulsions qui s'exercent entre les différentes masses électriques du système; dans la théorie de Maxwell, elle est due à l'élasticité du fluide inducteur qui est dérangé de sa position d'équilibre normal. Celte énergie, qui est susceptible d'être mesurée, doit avoir dans les deux théories la même valeur, et par conséquent les expressions (jui permettent d'en calculer la valeur doivent être identiques. C'est
U ÉLFXTRICITÉ ET OPTIQUE
en faisant cette identification que nous trouverons de nouvelles propriétés du fluide inducteur.
0^ ^44^ Il 28. Cherchons d*abord l'expression de Ténergie potentielle
pA^ Il considérée comme résultant des travaux des forces attractives
^^ /' et des forces répulsives.
^^A/Mi/ —
ww^ • ^x^ %r Soient d-: un élément quelconque de volume de Tespace
Xf 1/ eiz ses coordonnées etp la densité de rélectricilé libre dans cet élément; la quantité d'électricité contenue dans cet élément sera prfr et les composantes de la force électrique qui s'exerce sur cette quantité d'électricité libre seront:
Supposons que la masse électrique contenue dansTélément' dr se déplace de façon que ses trois coordonnées subissent des accroissements Zx, By, 8^.
Le travail de la force électririue appliquée à cette masse électrique sera donc
Le travail total dt's forces appliquées aux difl'érentcs masses électriques répandues dans tout l'espace sera représenté par Tintégrale
dx
étendue à l'espace tout entier.
Si donc nous appelons W l'énergie potentielle cherchée,
l'accroissement de celle énergie sera donnée par la formule :
29. Évaluons maintenant Taccroissement Bp de la densité électrique p à Tintérieur de l'élément c?t.
Considérons cet élément comme un parallélipipède rectangle dont les trois arêtes de longueur a, p, y soient respectivement parallèles aux trois axes de coordonnées de sorte que d-z = apy.
La quantité d'électricité qui entrera dans ce parai Idipipède en passant à travers l'une des faces perpendiculaire à l'axe des X sera égale à p, densité du fluide, multiplié par Sa?, déplacement du fluide projeté sur l'axe des a?, et par py aire de la face du parallélipipède.
Nous aurons donc pour l'expression de cette quantité d'électricité :
p8a?PY.
La quantité d'électricité qui entrera dans le parallélipipède en passant parla face opposée aura une expression analogue. Seulement pSo? n'aura plus la môme valeur, en efi'et p et Ix sont des fonctions de a?, y ei z ; or quand on passe d'une face à la face opposée, x a augmenté d'une quantité très petite a e plx est devenu :
La quantité d'électricité qui passe à travers cette seconde
face aura donc pour expression
Nous prenons le signe — parce que la normale intérieure à cette seconde face est dirigée vers les x négatifs.
Ainsi la somme algébrique des masses électriques qui entreront dans le parallèlipipède en passant à travers "les deux faces perpendiculaires à Taxe des a? sera
dx ^^ dx
De même les masses électriques qui entreront en traversant d*une parties deux faces perpendiculaires à Taxe des y, d*autre part les deux faces perpendiculaires à l'axe des z seront respectivement :
-IMrf. et -^rf..
dy dz
Or c^xSp n*est autre chose que la somme des masses électriques qui entrent dans le parallèlipipède en passant à travers ses six faces, on a donc:
(5) 8p = — ^ ^^^^^ — ^ (P^y) Ëi£5£Î.
^ dx dy dz
Cette équation n'est autre que celle qui est connue en hydrodynamique sous le nom d'équation de continuité.
