CHAPITRE IV
THÉORIE DE IIELMHOLTZ
22, LVxpérience nous fait connaître Taction mutuelle de deux courants fermés ; pour en de'duire Taclion de deux éléments de courants, Ampère a été obligé de faire une hypothèse ; il suppose que cette action se réduit à une force dirigée suivant la droite qui joint ces deux éléments. Cette hypothèse n*cst pas la seule qu'on puisse faire. Nous avons vu plus haut comment Weber, guidé par une théorie qui concorde avec celle d'Ampère dans le cas des courants fermés, a été conduit à admettre que deux éléments ont un potentiel mutuel qui a pour expression :
.., dsds' dr dr r ds ds
D'un autre côté F. Neumann admet pour le potentiel mutuel de deux éléments l'expression :
../ , , , cos 6
il dsds
Helmholtz cherche une formule générale comprenant celles de Weber et de Neumann et il fait à cet effet les hypothèses suivantes :
1° Il existe un potentiel mutuel de deux éléments de courants ;
2® Ce potentiel est inversement proportionnel à r.
Gomme en vertu du principe des courants sinueux, ce potentiel doit être linéaire en cose et cosO cosô' (Cf. § 1, page 6) Helmholtz est conduit à lui donner pour expression :
ii'dsds' (a ^* + B Ç2il«ii^')
où A et B sont des coefficients constants. Cette expression peut s'écrire, en vertu des formules (4) et (5), chapitre i®',
Si l'on a deux courants fermés leur potentiel électrodynamique mutuel sera Tintégrale double
1 I ii'dsds I
Le second terme est nul, car
ds -r-y. = O
dsas
si l'intégrale est prise le long d'un circuit fermé, et T se réduit à:
(A -f B) / / iiftsds' ^-^^
L'expérience raonlre que Ton doit prendre (A + B) = 1 (§ lOj , mais tant que Texpérience porte sur des courants fermés, elle
rf*r
est impuissante à déterminer le coefficient B du terme , ,«
C'est pourquoi dans diverses hypothèses, on a pu attribuer à B des valeurs différentes.
En posant, avec Helmholtz, B =: — - — > l'expression du potentiel élémentaire devient :
La formule de Weber est un cas particulier de celle de Helmholtz ; on la retrouve en donnant à A la vabur — 4 ; alors le potentiel a la forme :
. ., , , . /cos e , cPr \ ii'dsds' dr dr
udsds (^— + ^ = - -^ ^^,
En faisant A = 1, on a Texpression du potentiel qu'avait proposée Franz Neumann. En faisant A = 0, dit Helmholtz, on retrouverait i'électrodynamique de Maxwell. Cette assertion de Helmholtz a été parfois mal comprise ; nous y reviendrons (S 45).
23. La formule d'Ampère peut-elle être considérée comaie un cas particulier de celle de Helmholtz? En aucune façon. Nous avons vu, en effet, que dans la théorie d'Ampère l'action mutuelle de deux éléments n'a pas de potentiel. La formule d'Ampère est la seule qui explique les faits par une action entre deux éléments, réduite à une force dirigée suivant la droite qui les joint. Dès qu'on admet que cette action dérive d'un potentiel, comme le potentiel dépend de l'orientation
THÉORIE l>F. MELMHOLTZ
SI
des éléments, sea dérivées par rapport aux angles qui dâtinissent cette orientation ne sont pas identiquement nulles, et il en est de même du travail virtuel q u'eolralne une varialtun infînitéeimale de ces angles; c'est dire, quM, outre la force dirigée suivant la droite de joncliun, existent des couples qui tendent à faire tourner les éléments et dont les moments sont de l'ordre de grandeur de la force. M. Bertrand a fait à ce sujet des objections à la théorie de Helmboltz [Complet rendus, t. 73, p. 965; t. 75, p. 860; t. 77, p. 1049) ; selon lui, tous ces couples, agissant sur tous les éléments d'un Bl conducteur parcouru par un courant et soumis à l'uclion d'un autre courant ou de lu terre, devraient immédiatement briser le fil et le réduire en poussière. Hehnhullz répundailrgu'unefiiguiUe aimantée ne se brisait pus sous l'action de la terre, quoique sur chaque élément de longueur agit un couple dont le moment est de l'ordre de grandeur de l'élément. M. Bertrand a répliqué que personne ne croyait plus aujourd'hui à l'existence rëelle des Duides magnétique» de Coulomb et que la réponse de Helniholtz n'avait pas de sens; il semble que Helmhuitz aurait pu dire qu'on ne croyait pas davantage à l'existence objective d'un courant matériel circulant dans un conducteur.
Je ne veux pas m'immiscer dans cette polémique; Je veux toutefois montrer en quoi consiste le malentendu qui sépare ces deux savants éminenls.
Pour H. Bertrand, le courant se compose d'élémi^nls extrêmement petits, dont le nombre est extrêmement «rand quoique Tini ; à chacun d'eux est appliqué un couple dont les deux composantes ont une existence réelle el un point d'application parraitement détermine. Sur la figure, les éléments
sout représentés par les qualre rectangles en trait plein et les couples qui leur sont appliqués sont A^F^, B^G^ ; h^J^i^ ^1^2 *
AjPs» ^S^SÎ ^4^4» B4G4.
Dans ces conditions, il est clair que la rupture se produira suivant la ligne pointillée XY.
Pour M. von Helmholtz au contraire le couple n^est qu'une sorte de tendance à tourner qui a une existence propre indé-
Fig. 7.
pendante de ses deux composantes, qui peuvent ne pas avoir de point d'application déterminé. Le couple existe toutes les fois que la rotalion produit un travail.
En d'autres termes Helmholtz suppose que, si loin que Ton pousse la division de la matière, chaque partie restera toujours soumise à un couple. M. Bertrand croit au contraire qu'il arrivera un moment où les parties ultimes de la matière seront soumises à une force unique et qu'en adoptant une autre manière de voir, on est dupe d'une fiction mathématique qui cache la réalité des faits. Il ne serait peut-être pas impossible, môme en acceptant le point de vue de M. Bertrand, dlmaginer une distribution des forces qui n'entraînerait, pas la rupture des conducteurs. Mais elle serait probablement compliquée et peu naturelle.
Je me bornerai à rappeler que, dans la théorie de Weber, qui n*est qu'un cas particulier de celle de Helmholtz, on peut tout expliquer en supposant que l'aclion mutuelle de deux éléments se réduit à une force unique dirigée suivant la droite qui les joint. J*ai dit au n° 19 comment cela peut se concilier avec le fait de Tcxistence d*un potentiel qui est en apparence contradictoire.
24. Equations fondamentales. — Nous avons mis le potentiel électrodynamique mutuel de deux circuits sous Ja forme (§ 10)
(1) T = if{¥dx + Gdy + ^dz)
dans le cas d'un circuit fermé.
Ici, on a, pour deux circuits quelconques :
cos e d^ds' = dxdiv' -[- dydy -|- dzdz' dh' , d^r , , d^r . , d^r ,
dsds dœds' ' dyds ' dzds
llemplaçant dans T, nous pouvons donner àT la forme (ij, déjà trouvée dans le cas d'un courant fermé, en posant :
Nous désignerons de même par G et H deux expressions analogues qu'on déduirait de la première par symétrie. Nous
dirons que F, G, H sont les composantes du potentiel vecteur. Posons
intégrale étendue au contour G' et nulle dans le cas d'un courant fermé :
dœ f dœds'
2 dx
— kd^
2 dy
— kd\ 2 dz
On peut écrire aussi:
et en effet si on regarde x, y, z comme des constantes on a :
dr dr dr dr
dr = ~ch =—,du^ +^,d,j ^-,d.
25. Donnons à ces équations une forme applicable aux conducteurs à trois dimensions.
Si p est la densité de rélectriciié libre, pdx est la quantité'
d'électricité contenue dans le volume dx; udia est la quantité
qui traverse dans Tunité de temps Taire dta normale à Ox;
de même vd(a, Taire d(a normale à Oy; wdiûy normale à Oz ;
on a:
dU\^i <^^ ^
dx*dy~^dz dt
C'est Téquation dite de continuité (Cf. V' vol., n« 29).
Le fil conducteur peut être assimilé à un cylindre de section
dm. L'élément de longueur étant ds, dx = d(ads,
dr La section par un plan perpendiculaire kdœesi —
udx = idx ( u'dx = l'cte'
vdx = idy \ v'dx' = Hdy'
tod-z = idz \ w'dz' -- ïdz'
T = /(Fw + Gt? -f- Hm?) di
— kd\ 2 dx
, / tc'dr , i — k d\
— kd^ 2 dy
Transformons aussi ^
i ( , dr . , dr . , dr\, .
Si nous cherchons le potentiel électrodynamique mutuel total nous avons à prendre Télément différentiel
(Fw + G» + Hio) dt
où F, G, H sont des intégrales étendues à tous les éléments d-ç' de tous les conducteurs, c?t excepté. En opérant de la sorte on compte deux fois dans Tintégrale double le potentiel mutuel d'un couple d'éléments dx et dx. Donc il faut diviser par 2 l'intégrale ainsi calculée pour avoir T :
(8) T = ^f(Fu + Gi? + Hw) d^
On peut dire que l'intégrale est étendue à tout l'espace, car en dehors des conducteurs m, t?, lo sont nuls.
On pourra, dès lors, appliquer le théorème de Green, relatif à l'intégration par parties dans tout l'espace (*)
/j , . dr l du'
