Équations de la loi de Ohm. — La formule Et

E — —^3 — 's'applique aux courants fermés. Si on l'applique

à une portion de courant, il faut tenir compte de la différence de potentiel aux extrémités.

Si on a un élément rectiligne parallèle à Ox

on peut poser

E = Xdx

R - ^^ Cd<ti

G conductibilité spécifique ; d'où

P . idx udœ

Cd(ù C

Quant à la force électromoirice d'induction, on a ici

T = iFdx = Mu'

rf(MO ^ dF

Les équations de la loi de Ohm s'écrivent donc :

dx dt ^ù»

dy dl^ l

rf* dt "f" t

On peut dire qu'il y a quatre forces électromotrices se faisant équilibre : la force électrostatique, la force d'induction, la force électromotrice extérieure (d'origine chimique, thermoélectrique, etc.), et la force électromotrice résistante, dont

les composantes sont — tt» — p » — jt •

L'hypothèse sur laquelle reposent les formules (42), Textension de la loi de Ohm aux conducteurs à trois dimensions semble très plausible, mais c*est une hypothèse, et M. Bertrand n'en admet pas la légitimité. Nous verrons qu'en faisant sur la généralité de la loi de Joule dans les conducteurs à trois dimensions une hypothèse qui paraît s'imposer [voir formule (18 bi8)y n** 81], les formules (12) s'accordent avec le principe de la conservation de l'énergie. Il y a plus : on pourrait appliquer aux conducteurs à trois dimensions les équations de Lagrange et de la théorie de Tlnduction de Maxwell (I" vol., n° 151); si je ne donne pas dans ces leçons ce calcul, c'est qu'on a ici un nombre infini de paramètres, et que je serais forcé d'employer le calcul des variations.

Je me bornerai à dire que si Von admet la formule {iS 6w), le calcul conduirait aux équations (12).

28. Définition de la force magnétique. — Dans le cas où tous les courants sont fermés^ la force magnétique est susceptible de deux défînitions équivalentes :

1° On peut dire que la force magnétique, dont nous avons appelé les composantes a, p, y, est la résultante de toutes les actions électromagnétiques appliquées à un pùle magnétique égal à 1. C'est la définition que nous avons donnée plus haut au (j 8. Un pôle magnétique peut être assimilé à un solénoïde indéfini. En efl'et l'action d'un courant fermé sur un solénoïde fermé est nulle ; son action sur un solénoïde limité ne dépend par conséquent que de la position de ses deux extrémités qui peuvent être assimilées à deux pôles magnétiques égaux et de signe contraire ; son action sur un solénoïde indéfini est donc

THÉORIR DE HELMHOLTZ 61

la même que sur un pôle magnétique unique situé à Te&trémîté libre du solénoïde (Cf. 1" vol., n* 124) ;

2** Considérons un élément magnétique et soient Arfx, B^t, Cd-Cy les composantes de son moment magnétique. Les actions subies par cet élément peuvent se réduire à une force unique appliquée au centre de gravité de l'élément et dont les composantes sont :

et à un couple dont le moment a pour composantes : (Cp — By) c?t, (Ay — Ca) dx, (Ba — Ap) ^t

En d'autres termes le moment de ce couple est normal au plan des deux vecteurs qui représentent le moment magnétique de Téiémenl et la force magnétique et est égal au produit de ces deux vecteurs parle sinus de leur angle.

Si Télément change de direction sans que son centre de gravité se déplace et sans que la grandeur de son moment varie, le travail de ce couple est égal à la variation du produit de ces deux mêmes vecteurs par le cosinus de leur angle, c'est-à-dire à la variation de Texpression suivante :

(Aa + Bp 4- Cy) d-z

Imaginons maintenant un circuit fermé infiniment petit, parcouru par un courant d'intensité i; soit doi Taire de ce

6!i ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

circuit ; iy m^ n les cosinus directeurs de son plan. Ce circuit sera équivalent à un élément magnétique dont le moment aura pour composantes :

AdT =: ildtûy Bc?T = imdiûy G^t = incUa

Les actions subies par ce circuit se réduiront donc à une force unique appliquée au centre de gravité du circuit et à un couple dont le moment aura pour composantes :

(12 6w) idiû[n^ — wy), id<ù{lf — wa), id(t){m% — np)

Si le circuit change de direction sans que son centre de gravité se déplace, sans se déformer et sans que Tintensité t varie, le travail de ce couple sera la variation de l'expression :

(12 ter) idiù [U + wf + ny)

D'où la définition suivante de la force magnétique :

Cesù un vecteur dont j'appellerai les composantes a, p, y et qui'est tel que Vaclion exercée sur un circuit infiniment petit se réduise à une force appliquée au centre de gravité du circuit et à un couple dont le moment a pour composantes les expressions (12 bis) et dont le travail est égal à la variation de r expression (12 ter).

Imaginons maintenant un système S contenant des courants non fermés, .

La première définition de la force magnétique na plus aucun sens,

11 est en effet impossible de réaliser un pôle magnétique isolé à l'aide d'un solénoïde indéfini. Voici pourquoi :

L'action d'un courant non fermé sur un solénoïde fermé n'est

pas nulle ; son action sur un solénoïde non fermé ne dépend donc pas seulement de la position des deux extrémités mais de la forme du solénoïde; et son action sur un solénoïde indéfini ne se réduit pas à une force unique appliquée à son extrémité libre.

Nous sommes donc conduits à adopter la seconde définition.

Cherchons Texpression du potentiel électrodynamique T d*un circuit fermé quelconque C par rapport au système S.

Supposons d'abord que le circuit G soit infiniment petit, Faction du système S sur ce circuit se réduira à une force appliquée à son centre de gravité et à un couple. Si le circuit change de direction sans se déformer, sans que l'intensité varie et sans que son centre de gravité se déplace, le travail de la force sera nul ; celui du couple sera par définition égal à la variation de l'expression (12 ter), c*est-à dire à :

Si donc l'intensité t du courant, l'aire dio du circuit, les coordonnées Xj y, z de son centre de gravité ne changent pas ; si par conséquent les cosinus directeurs /, m, n varient seuls on aura :

8T = idiû (a8/ + p8w + ySn).

On en déduit :

T = idiù (a/+ pm + ^n]

-[- fonction arbitraire de i, rfu), de a?, de y et de^.

Cette fonction arbitraire qui ne contient pas les cosinus directeurs /, m et n est évidemment nulle ; car T doit changer de

signe quand le courant change de sens, ou ce qui revient au même, quand on fait tourner le circuit de 480® autour d'un axe situé dans son plan, ou ce qui revient encore au même, quand on change /, w, w en — /, — m, et — n. On a donc finalement :

T = icUsy {7.1 4- flm -f- yn)

Si le circuit G est fini, on le décomposera en une infinité de circuits infiniment petits ainsi qu*il a été dit au n"" 107 du I» volume et on aura :

(13) T =::fidiù [olI + pm + yn)

l'intégration étant étendue à tous les éléments ^(o d'une aire A appartenant à une surface d'ailleurs quelconque passant par le circuit G et limitée par ce circuit.

Quant à /, m, n, ce sont les cosinus direcleurs de l'élément dtû ou, Ce qui revient au même de la normale à la surface à laquelle appartient l'aire A.