On a [équation (ij

T = îJ\Fdœ -f Gdy + Hdz)

Comme on a par définition de a, ji, y,

(13) T = iJjoL -f ,>ip + ny] f/(o,

il 8*ensuit que

dy dz

__dG^d?

\ ^ dœ dy

Or nous avons déjà (10) et (il)

AG = — 4ir» + (1 — A) X :^,

' * dydt

J— — 4- — 4- — — — AX^ dx'^ dy dz dt

Calculons -^ — ^^ dy dz

d^F d^F do?* cte*

dy d^G rfF>

rfp d^R d^F dz dxdz dz*

dy dz dx dœdt ' ^ ' dxdt

dl^^^^^d^ / dz dœdt J

,.«. , da^ ç?Y - \^

^ ' ^ dz dœ dydt

df^ dd . . cPo»

Dans Maxwell, les derniers termes n'existent pas. Nous

verrons en effet que Maxwell suppose X = o. Les équations (45) se prêtent à la vérification suivante : £n différentiant la première des équations (45) par rapport

à œ, la seconde par rapport à y, la troisième par rapport à jz^

et ajoutant il vient :

. /du , dv , dto\ ^ ^ d^

Xcp

d'où

.... . fdu , dv , dw , dû\

Nous retrouvons ainsi Téquation de continuité.

CONSERVATION DE L*ÉNERGIE ET STABILITÉ DE l'ÉQUILIDRE

30. Expression de l'énergie électrocinétique T et de l'énergie électrostatique U. — Je vais donner de T une expression nouvelle. Dans Téquation (8) je remplace m, t-, w,

par leurs valeurs tirées de (15)

• En intégrant par parties dans tout Tespace (Cf. Introduction), on a:

La première des intégrales a donc pour valeur 8it / \^\dy dz) "^ " \dz d^J "^ ^ \dx dy)]

La seconde se transforme de même

^d^ = dœdt

I dx cU

1 Cv £i.Fd -^2l r^(^4,^^^\^

Stt / Zjdœdt ÔTc / dt \dœ'^ dy'^ dz)

(.«)/t = i; A.. + .. + ,•) .. + ^ fit)' ^ ^ 'V ^v,r %

Si h est positif ou nul, tous les éléments de l'intégrale sont ' /

positifs, et si T est nul, c'est que tous ses éléments sont nuls; au contraire, si k est négatif, on ne peut afGrmer que, du moment que T est nul, tous les éléments soient nuls et qu*il n'y ait pas de courant*

T, énergie électrocinétique, n'est qu'un des termes de l'énergie. L'autre terme est l'énergie électrostatique

U = - J pqprfT

Or:

D'après le théorème de Green,

(">:."=è/fê)'+(ê)'+(S)> .

u est essentiellement positif.

L'énergie totale T -f- U est positive si /c >. o. Si /c est < o, T -}- U peut être de signe quelconque. Supposons que F, G, H, soient tels qu'on ait

dx dy dz

•^ fonction quelconque de x^ y, z, les trois binômes ((4) sont nuls, et le premier terme disparaît. Le second ne disparaît pas ; supposons <p = o à l'origine des temps, T-f- U sera néga-

THÉORIE DE RELMHOLTZ 60

tif ; comme <p = o à Torigine des temps il n'y a pas d'électri- a

cité libre au début, mais il y en a tout de suite après, car y^^ ^t^j^^^

-^ n'est pas nul.

31. Conservation de Ténergie. — Vérifions que Ténergie se conserve, c'est-à-dire que la variation deT-f-U est égale au travail accompli par les forces électromolrices extérieures (chimiques, thermoélectriques, etc.], diminué de la chaleur dégagée dans les résistances en vertu de la loi de Joule.

Reportons-nous aux équations (12) et multiplions la première par — udTf la seconde par — vd-c, la troisième — lodr, puis intégrons dans tout l'espace et ajoutons : il vient:

(18') - / ^' + ^^ + ^^^ ^^ -f/(Xw + Yv + Zvo) d-,

Nous allons démontrer que la première intégrale du second

//ÎT /7T

membre est -37 > la seconde -7: • di dt

/2 I 2 I 2 — P — r/x, c'est la chaleur de

Joule. Une ligne de courant est une ligne qui satisfait aux

dûc d%j dx équations différentielles — = -«^ = — » c'est-à-dire qui a pour

tangente en chaque point la vitesse de l'électricité.

Un conducteur à trois dimensions peut être considéré comme formé d'une infinité de conducteurs linéaires élémentaires ayant la forme de cylindres infiniment petits, de hauteur dsy de section droite d<i>, de volume dT = dscl<i} et dont la hauteur est dirigée suivant les lignes de courant.

Admettons qtie la loi de Joule s'applique à ces conducteurs linéaires élémentaires»

Si l'on considère l'un d'eux, )a chaleur dégagée dans sa résistance est Ki^dt ; or

Qkdtû et

i^ =z [u^ + v^ + to^) di^^ Donc :

(18 bis) Ri-dt = îf!±^+ll' asd,^i=l!l±^±J2! ,;,. at.