IT
Le travail, changé de signe, est —r- (en appelant U l'énergie
électrostatique) ; donc :
riU
f = / (" â+4,+"S)*+ira/i"^^+'"»)^-
La première intégrale est égale à :
/du , d}") , dir>\ , i dû ,
Mais
XA^ = — 4Trp.
L'intégrale est donc :
-hj ^■^fi'''='-tj Ssîâ''^
è if m + (g)' + (S)'] -•
La seconde intégrale est :
dl 8u dl I [\d.r) ^ \dy) + \dz) J
+ K^XcTJ(^'+^' + *')''-
Nous supposerons qu*à Torigine des temps tous les conducteurs partent de l'état neutre et qu'il ny a ni électricité libre ni courant.
On a donc pour / = o :
U = 0 et pour une époque ultérieure quelconque :
-è/fêy+d)" +(!)']
+ inrx / (^* + ^' + '*'^ "^^
44. Telle est Texpression générale de Ténergie électrostatique. Quand on a affaire à des phénomènes purement électrostatiques, l'expression se simpliGe : on a en effet:
c/cp 47r
et deux autres équations analogues d*où :
K — X ' ~ 8^ \dx)
Il vient donc :
Ou enfin :
D'autre part nous avons à Tintérieur des conducteurs:
(6) «p = const.
à rintérieur des diélectriques, Téquation de Poisson nous donne:
XAç = - 4,tp = 4«2 ^ d'oti :
OU
Considérons maintenant un point de la surface de séparation des conducteurs et des diélectriques Nous poserons, conformément à une notation généralement adoptée :
Nous aurons alors (en nous rappelant que ^ est constant à rintérieur des conducteurs) en un point situé dans le diélectrique mais inHniment voisin de la surface de séparation :
/ -7^ --- — \t: [p an ^
Nous avons posé
nous supposions alors que l^n, n étaient les cosinus directeurs de la normah* diri(p'*o vers le eoiiducteur : si nous supposons comme dans la formule (H) que /, tn^ n sont les cosinus de la normale dirigée vers le diélectrique^ il feindra écrire:
d*on :
OU
PASSAGE Dt: LA THÉOIU£ DE HELMUOLTZ A CELLE DE MAXWELL lOi
OU enfin:
j*observe enfin que Ton a :
(10) charge d'un conducteur quelconque = / \fx]doy
rintégration étant étendue à tous les éléments dm de la surface de ce conducteur.
Les équations (6), (7), (9) et 10 suffisent pour nous faire connaître la fonction ^ quand on connaît la charge de chaque conducteur.
L'équation (5) nous fait connaître ensuite l'énergie U et comme nous savons que le travail virtuel des attractions électrostatiques est égal à l'accroissement virtuel de cette énergie, nous pouvons en déduire la valeur de ces attractions.
Ainsi, si nous connaissons la charge et la position de chaque conducteur, les équations (5), (6), (7), (9) et (10) nous feront connaître les attractions électrostatiques. Mais dans ces équations la constante X ne figure pas ; nous n'y voyons figurer que le pouvoir inducteur K.
Les attractions électrostatiques, pour des charges et des positions données des conducteurs, gui sont l'unique objet des expériences électrostatiques^ ne dépendent donc pas de X, Ces expériences ne peuvent donc pas nous faire connaître X, mais seulement le pouvoir inducteur K qui est fonction à la fois de X et de e.
Nous désignerons par K0 le pouvoir inducteur du vide et par e„ la valeur de e relative au vide.
Dans les théories anciennes on suppose que le vide ne
contient pas de sphères de Mossotti, qu'il ne s'y produit pas de polarisation diélectrique, c'esl-à-dire que e^ = od*où :
el pour un diélectrique quelconque :
K+2Ko
Mais rien n'oblige à supposer e^ = o. C'est ainsi que dans la théorie du magnétisme induit, après avoir supposé que pour le vide x = o, f* = 1 on a été conduit, pour expliquer le diamagnétisme, à supposer que le fji du vide est plus grand que i, c'est-à-dire que le vide est faiblement magnétique (Cr. § 35j. On peut faire ici une hypothèse analogue.
Gomme les expériences électrostatiques ne nous font connaître que K et K^, les phénmnènesélecfrostatiques peuvent s'expliquer quelle que soit la valeur plus petite que K^, aUribuée à X pourvu que l'on suppose en même temps :
— ^ et pour un diéiectriquequelconque(')6=
Ko + 2X
K est exprimé en fonction de X et de e, mais ni X, ni e n'entrent
(') Ces formules supposenl que, comme Poisson et UossoUi, od allribue la forme sphérique aux parties conductrices du diélectrique. Cette hypothèse ne joue dans la théorie aucun rôle essentiel, elle sert seulement à simplifier les calculs. Si on supposait que la forme des parties conductrices est quelconque, on arriverait à un résultat analogue et on trouverait :
K = Xf (e)
1 4- 2ê 9 (e) étant une fonction qui se comporte comme ' » je veux dire
qu'elle croit avec c, qu'elle est égale à 1 pour ( =s o et inQnie pour e =: 1.
PASSAliF. [lE I.A THËURIE DE HKI.MllOLTZ A CELLE DE MAXWELL 103 Bêparément dans l'expreEsion de l'énergie éleclroslalique. Si on change 1 en même lemps que e de manière ù laisser K invariable, on ne changera rien à Teipression de ce que nous pDuvoDs connallre expérimenlaletnent. L'expérience ne nous Fera donc pas connaître X si nous nous en tenons aux pii6nomènes électrostatiques, 45. Dana les idées de Mossolli, ordinairement rei-iies, t::=o.
Alors K„ =
& l'uEité de distance, s
: X. Deux unités d'éiectricilé placées repoussent avec une force t- =
Mais on peut aussi expliquer les phénomènes en admettant que ig ne soit pas nul, même pour l'aîr cl pour le vide. Alors
Ku "- X, el - > ^- La répulsion réelle entre deux unités
d'éleclricité est plus grande (jne^' mais la répulsion oAcereéi;
dans le vide est toujours — : elle n'est pas modifiée. Elle est
seulement plus petite que la répulsion réelle à cause de l'aRlion de sens contraire duo à la présence des sphères polarisées. La théorie (fe Maaaoell comih/e à faire X == o. Pour que K soit fini, il faut que t soit égal à 1. C'e^t-à-dire que les parties condurlrices occupent la totalité du volume du diélectrique. Cela revient à se représenler les diélectriques comme des cellules conductrices séparées par des cluisons isolantes d'épaisseur infiniment petite pur rapport aux dimensions de ces cellules (') (Cf. I" vol., n° 61. sqq.). f--'i répulsion réelle entre deux molécules unités serait infiniment grande, X étant nul,
(') C«el DB Joli pat è\n prli a la lellce. Il aerull illOtcile >rnilm»llra quu le ilde ttûl una sonblibla coiiiUluilon. II ne Taul voir lA qu'âne b^oa t]'u:j>rlinnr Ce Ftil r|iia, àmt 1d illélaclrli]ua, J*4l«:irlcll4 ae circule paa, an *e déplace pta, Il y • Muleneiit (KilsrlMlloD.
104 ÉLECTRICITÉ ET OPTiQUK
mais la répulsion observée entre ces deux molécules, plongées dans le diélectrique, est finie.
Les phénomènes électrodynamiques ordinaires ne dépendent pas non plus de la valeur de \ et ne peuvent nous faire
d¥ connaître cette valeur ; en effet, — est nul pour des courants
constants. L*équatiun {i), ^ 40, s*écrit donc :
(puisque les Forces électromotrices d'origine diverse que nouis avons représentées par X sont généralement nulles).
On retombe donc sur les équations du n° iO.
rfF Dans le cas des courants variables ordinaires, — est généralement négligeable, il faudra avoir recours à des courants alternatifs très rapides, comme dans les expériences de Hertz
si Ton veut que — soit asscx grand pour que linlUu'nce du
terme en X se fasse sentir.
La théorie de Maxwell n'est donc en dcfinilive qu'un cas limite plulùt qu'un cas particulier de la théorie de Helmhollz. Il faut pour passer de Tune à l'autre attribuer à X une valeur infiniment petite.
Voyons ce que deviennent dans ce cas les diverses quantités (jue nous avons envisagées :
1** Le potentiel électrostatique cp, ainsi que les densités <i et [<j] qui, d'après le n° 40, ne dépendent pas de la valeur attribuée à X restent finis;
2** Au contraire les densités que nous avons appelées p cl [p] sont des infiniment petits du môme ordre que X.
On peut s'étonner que le potentiel op et les attractions électrostatiques restent finis bien que les densités électriques p et [p] soient infiniment petites; mais je rappellerai :
1* Que nous avons trouvé :
d*où il suit que cp est fini si p, [p] et X sont des infiniment petits de même ordre ;
2^ Que le travail des forces électrostatiques qui est égal à la variation de la fonction U définie par Téquation (5) du n° 44 est également fini.
On peut d'ailleurs s'expliquer la chose d'une autre manière.
Rappelons, ainsi que je l'ai exposé dans le premier volume, que, d'après la manière de voir que nous avons été conduits à adopter, les diélectriques sont constitués par des cellules conductrices séparées par des cloisons infiniment minces et que chacune de ces cloisons isolantes représente un condensateur dont les deux cellules voisines sont les armatures.
Ces deux armatures ont des charges égales et de signe contraire q ei — q; comme la cloison est infiniment mince, l'action de ces deux charges sur un point extérieur est du même ordre de grandeur que l'épaisseur 8 de la cloison divisée par X et multipliée par 9; si donc, comme nous le supposons, 8 et X sont de même ordre, cette action sera de même ordre que q.
11 y a deux remarques à faire au sujet du calcul des actions électrostatiques :
i° Nous avons fait ce calcul en partant de l'expression U.
On emploie souvent en électrostatique une autre méthode qui est applicable à un conducteur libre placé dans un diélectrique impolarisable (e = o). On considère les diverses molécules électriques répandues à la surface des conducteurs et les forces auxquelles elles sont soumises et on les compose d*après les lois de la statique. Cette méthode appliquée à un conducteur placé dans un diélectrique polarisable constititué d*après les idées de Mossotti donnerait des résultats erronés et si on l'appliquait au cas d'un diélectrique constitué conformément à la théorie de Maxwell et aux idées exposées dans le présent numéro, on trouverait une attraction infinie. En effet ce conducteur ne pourrait se déplacer sans déranger les sphères de Mossotti ou les cellule conductrices, ce qui produirait un travail électrostatique négatif et par conséquent une résistance dont il y a lieu de tenir compte ;
2° Il ne faudrait pas non plus pour calculer U partir de la formule :
U=l/p^rf.
ce qui donnerait U = o puisque p =: o
En effet la fonction n'est pas continue puisqu'elle varie brusquement quand on passe d'une cellule à Tautre. Si nous revenons aux petits condensateurs dont je parlais tout à Theure et si nous appelons q et q' les charges des deux armatures, c& et ^' leur potentiel \ q -\- q' sera de Tordre de X, mais ce n'est pas une raison pour qu'il en soit de même de qr^ -j- q'^' puisque cp — tp' n'est pas un infiniment petit de l'ordre de X.
On a d'ailleurs
les intégrations étant étendues à un volume quelconque et les sommations à tous les petits condensateurs contenus dans ce volume.
On conçoit donc comment la première intégrale peut être nulle sans que la seconde le soit.
46. Vitesses de propagation des perturbations électromagnétiques. — Cherchons comment se propagent, dans les diverses théories électromagnétiques en présence, les perturbations électrodynamiques. Si les vitesses de propagation, qui sont fonctions des quantités X, A et K sont accessibles à Texpérience, ce sera un moyen de déterminer quelqu'une de ces quantités.
On a dix équations aux dérivées partielles définissant les dix quantités w, t?, ta, a, fl, y, F, G, H et cp.
Considérons en effet un diélectrique de pouvoir inducteur K
K — X ~" dx'^ dt' -^
En différentiant par rapport à <,
g'cp
K — X dxdt dH
47rt? d^ çTC K — A ~ "" dydt """ dt'^
^ K — X "" "" d:fdt ~" ~dF
D autre pari, on a les équations (l«5j du § i9
Atzu = ^ — -f + ^ -1-^ dy dz ' dxdt
les équations (i9) du § 36 :
dW rfG dy dz
J — — 4- — -I- — — — ÂX ^
t/x "^ dy dz f/^
Soit une perlurhation électromagnétique dans le milieu diélectrique. Supposons qu'on ait une onde plane perpendiculaire à Ox : les quantités qui figurent dans les équations sont fonctions seulement de x et de t. Les équations deviennent :
^ ' K X dxdl
fl^V
dC^
