TUKORIE DU DÉPLACEMENT ÉLECTRIQUE DE MAXWELL

F étant une fonction de .r, y, z et les intégrales étant étendues, la première a tous les éléments rfco d'une surface fermée, la seconde à tous les éléments du volume limité par cette surface.

Lorsque la fonction F est nulle a Tinfini, la première intégrale étendue h la surface d'une sphère de rayon infini est nulle, chacun de ses éléments étant égal à zéro.

On a donc pour une telle fonction

Dans le cas où F est un produit de deux fonctions n et r, Tégalité précédente devient

et nous eu tirons

(îti

(iX

nouvelle égalité qui va nous servir à transformer d\\ .

31. — Il vient en appliquant celte règle à la fonction 'ipo.r qui s'annule à Tinfini puisque le potentiel i s'annule lui-nu^me à rinfini :

dz ''^'•■^^''

ÉSERGIE POTENTIELLE DUS SYSTEME ÉLECTRISÉ uS

OU en additionnant et tenant compte des équations (4) et (5) :

;\V= I ào^d-:,

ou, en vertu de Téquation de Poisson généralisée :

o\V= r— I 'io

En appliquant le même lemnie que tout ii Theure, il vient :

ou encore, en remarquant que le pouvoir inducteur K n'est pas altéré par les déplacements des masses électriques et par conséquent que oK = o :

-f^mn

On obtiendrait par symétrie deux autres équations analogues, et en les additionnant et divisant par — 4^> ^^^ trouverait :

L'énergie potentielle du système a donc pour valeur

iG TIIÈomE DV DÉPLACEMEyr KLFXTRIQl'K DE MAXWELL

lu oonstante (rintôgration «'laiit nulle, |)ins<|iir rénergîo potentielle doit ùlre nulle <{uand tout Tespaee est à Télat neutre, et (|ue dans ce cas le potentiel en cha<|ue point a la nu^nie valeur^ zéro.

32. — I/intégrale du second membre de rex[H'ession .(>) doit <^tre étendue à tout l'espace, mais il revient au même de ne l'étendre ([u'à l'espace occupé par le diélectri(|ue, car les éléments de l'intégrale <[ui correspondent à des points situés à rintérieurde sconducteurs sont nuls. Kn ellet, en tout point d'un

conducteur le potentiel a même valeur et par suite, ses dérivées

d'il (i'I (Il partielles -H-. -7— > — r" » sont érrulement nulles. * (ix dy dz

('et te remarque permet de transformer l'expression ;(>'. Kn tout point d'un diélectri(iue, nous avons d'après les hypothèses de Maxwell,

/ 7 r ~ > fi i y ■ > '' — ' > 'l'y

' 47: d,v ^t: dij 47: dz

et en portant les valeurs des dérivées partielles du potentiel y, déduites de ces relations dans le s<,'cond membre de '(>\ il vient

Telle est l'énergie potentielle d'un système éleclrisé exprimée à l'aide des notations de Maxwell.

33. — Cherchons maintenant l'expression de c<'tle éner<;ie considérée comme résultant de la déformation du iluide inducteur.

Soient Xr/T, Y^/t, Z^/t les trois composantes df la foret» (jui at^it sur un élément d'z du iluide inducteur lorscpu* ce lluid<* se trouve en écjuilibre contraint par suite de la charge des conducteurs placés dans le diélectritpie. Si les molécules électri([ues (pii composent le système subissent un déplacement infiniment petit, les composantes /', i,^ //, du déplacement de l'élément d-z du iluide inducteur prennent des accroissements 0/* fjg, o//. Le

ELASTICITE DU FLUIDE ISDUCTEUR 27

travail élémentaire de la force qui s'exerce sur cet élément a pour valeur

et le travail total sur tous les éléments du fluide inducteur est

. J\Xo/-+ Yo^ 4- -LU) d-,

l'intégrale étant étendue à tout Tespace occupé par le diélectrique. La variation de l'énergie potentielle du système, qui ne diflère que par le signe de la variation du travail, est donc

oW = — J(Xo/*+ Y%+ Zo//) (k.

34. Élasticité du fluide inducteur. — L'identification de cette expression avec la suivante

déduite de l'égalité (^), nous donne pour les valeurs des composantes X, Y, X,

Ces relations nous montrent que les composantes de la force qui s'exerce sur un élément di du fluide inducteur sont proportionnelles aux composantes du déplacement électrique. La force élastique du fluide inducteur est donc dirigée suivant le déplacement et le rapport de sa grandeur à celle du déplacement est égal

il -p- . Nous verrons plus tard que dans le cas où le diélectrique

est un milieu cristallisé la force élasti([ue n'est plus dirigée suivant le déplacement ; les conclusions précédentes ne s'appliquent qu'aux milieux diélectriques isotropes.

35. — Il est à peine besoin de faire remarquer combien l'élasticité du fluide inducteur est différente de l'élasticité des gaz ou

iiityinit: ur

■ Kl.fi: IRHilE JIE .V.IXHtLL

Oc l'êther luniineux. Dons les guz et dans l'èther, rciiergîe potentielle dépend seulement des positions relutives des molêeules i^t non de leur position iibsolue dans l'espuce ; par suite il n'y a pus réaction élastique quand un de ces lluides se dêphice sans se défoimei-. Il en est tout autrement pour le fluide inducteur. Tout se passe comme si chiicune des molécules de ce lluîde était attirée prupui-tionnellement a la distance por su position d'équilibre normal. Il résulterait de lii que si l'on donnait ii toutes ces molécules un même mouvement de trausliition sans que leur situation rcliitivc variât, l'élasticité n'en devrait pas moins entrer en jeu. Cette élasticité toute pjirticuliêre que doit posséder le Iliiidc inducteur parait difficile à admettre. On ne conçoit pas comment le point mathématique on se trouve une molécule de fluide inducteur en équilibre normal, pourru itgir sur cette molécule pour In rumener ;i sa position d'équilibre quand une ciiiise électrique l'en aura déplacée. On concevrait plus facilement que ce sont les molécules matérielles du diélcctriipie qui agissent sur les molécules du iluîde inducteur pénétrant le milieu pondérable. Mais celte hypothèse ue lèverait pas toutes les difficultés, car elle n'expliquerait pus l'élasticité du fluide Inducteur répandu dans le vide. En outre, l'action de la matière sur le fluide inducteur entraînerait l'existence d'une réaction de ce fluide sur la matii're ; or. on n'a constaté ancnne mauirnslalion de cette réaction.

36- — On pourrait encore supposer rexisleucc de deux lluides indncleurs se pénétrant et dont les molécules de l'un agiraient sur les molécules de l'autre dès qu'elles seraient dérangées de leurs positions d'équilibre normal. Mais si cette hypothèse a l'avantage de ramener l'élasticité spéciale au fluide inducteur ii l'élasticité telle qu'on la conçoit ordinairement, elle a l'inconvénient d'être plus compliquée que celle de l'existence d'un seul llnide. Aussi croyons-nous que l'hypothèse du fluide inducteur de Ma\^s ell n'est ({ue transitoire et qu'elle sera remplacée par une autre plus logique dès que les progrès de la Science le permel- Ironl. On peut nous objecter que Maxwell n'a pas introduit celte hypothèse du lluide inducteur ; mais, comme nous l'avons dit an comnieiicenicnl de ce chapitre, si le mot n'est pas dans l'on-

fiisrmiKjioy électriqik ag

vroge de ce physicien, lu chose s'v trouve ; seulement ce que nous sivons appelé Eluicle iiiilucteur est désigné par le mot éleclricité; dans le lungnge de MiiKwell t électricité des diclectriijiics cai supposée éliisticiue, tandis que rclectn'cilé des conducteurs est supposée inerte. Ces propriétés différentes attribuées à deux fluides désignés pur le même nom sont la cause du manque de

clarté que pré

entent certains passages de V

ouvrage

C'est uniquen

enl pour éviter cette «bscu

ité <|ne

introduit le m

>t de n.iide inducteur dans 1

exposé

Maxwell.

37. Diatribation électrique. — l'our achever de justilier les hypothèses de Mii\\vcll, il nous faut maintenant montrer que les lois expérimcnlales de la dislrihulion électrique eu sont une consé([ueiK'e nécessaire.

Commençons par rapjielcr tes lois. On siiit que cette dislrjhutio» ne dépend que d'une certuiuc loncliou i, le potentiel, assujettie il diverses conditions. Dans toute l'étendue du diélectrique cette fanction i est continue ainsi que ses dérivées et satisCait ii la relation

(/.!■ tl.i ilij dij liz </z

eu tout point d'un conducteur elle a une valeur constante, mais en un point de lu surfiice ses dérivées ne sont pas continues. Eulin cette Tonctiou s'annule pour les points situés ii l'infini. L'étude de la distribution électrique sur un conducteur conduit à introduire une nouvelle quantité, la densité électrique superiîcielte. Si nous désignons par i/ la quantité d'électricité répandue Bur un clément de surface «/(n, la relation de Poisson, étendue au I cas oit le diélectrique est autre que l'air, donne