THEORIE DU DEPLACEMEST ELECTRIQUE DE MAXWELL

Supposons ((ue la niasse clectri([ue contenue dans rêlénient d'z se déplace de façon que ses trois coordonnées subissent des accroissements o.r,o//,or.

f.e travail de la force électrique appli([uée à cette niasse électri((ue sera donc

Le travail total des forces appliquées aux différentes niasses éN»ctri(pics répandues dans tout Tespace sera représenté par

rinté^rrale

étendue à l'espace tout entier.

Si donc nous appelons W Ténergie potentielle cherchée , raccroissement de cette énergie sera donnée par la formule :

29. — ^fettons cette expression sous une autre forme et pour cela évaluons l'accroissement oz de la densité électri(iue p à l'intérieur de l'élément d'z dans ce déplacement.

Considérons cet élément comme un parallélipipède rectangle dont les trois arêtes de longueur a, |j, v soient respectivement parallèles aux trois axes de coordonnées de sorte que dz = aSy.

La quantité d'électricité cjui entrera dans ce parallélipipède en passant à travers Tune des faces perpendiculaires à Taxe dos .r sera égale à p, densité du fluide, multiplié par o.r, déplacement du fluide projeté sur Taxe des ./-, et par ^Sy aire de la face du parallélipipède.

Nous aurons donc pour l'expression de cette quantité d'électricité :

l^a quantité d'électricité ([ui entrera dans le parallélipipède en passant par la face opposée aura une expression analogue. Seu-

ÉSERGIE POTENTIELLE DIS SYSTEME ÊLECTIUSÈ ^3

lenient ^o.v n'aura plus la même valeur, en efTet p et o.r sout des fonctions de.r, 1/ et z ; or quand on passe d'une face à la face opposée, X a augmenté d'une quanti te très petite a et po.r est deveuu :

, diolx)

La quantité d'électricité qui passe h travers cette seconde face aura donc pour expression

Nous prenous le signe — parce que la normale intérieure à cette seconde face est dirigée vers les x négatifs.

Ainsi la somme algébrique des masses électriques qui entreront dans le parallélipipède en passant \\ travers les deux faces perpendiculaires à l'axe des .r sera

(ix ^ • (ix

De môme les masses électriques qui entreront en traversant d'une part les deux laces perpendiculaires ii l'axe des 1/, d'autre part les deux faces perpendiculaires à l'axe des z seront respectivement :

-7^^ d-z et V— ^ rf--

dji dz

Or é/TOp n'est autre chose que la somme des masses électriques qui entrent dans le parallélipipède en passant à travers ses six faces, on a donc :

^'^ ''" dx dfi dz

Olle équation n'est autre que celle qui est connue en hydrodynamique sous le nom d'équation de continuité.

' 30. — Rappelons que d'après un lemme dont nous avons déjà fait usage, on a

oîPdti) = I ^ — dzy