I.!« densité superfieielle
3o THEORIE DU DEPLACEME.XT ELECTRIQl'E DE MAXWELL
Mais on peut supposer que la couche de fluide électrique répandue à la surface a une densité constante et que son épaisseur est proportionnelle à t ; c'est à cette dernière interprétation que nous nous attacherons.
38. — Revenons à la théorie de Maxwell. Dans celte théorie nous avons deux fluides incompressibles, le fluide inducteur et le fluide électrique auxquels nous admettrons que Ton puisse appliquer les lois de l'hydrostatique. On sait que si p est la pression en un point .r, y, z, d'un tel fluide, les trois composantes X, Y, Z, de la force élastique résultant du déplacement de ce point, ont pour valeurs
d.v ({y dz
Si nous désifçnons par «i la pression en un point du fluide inducteur, nous avons
d'I (hl d'I
dx dy dz
Mais nous avons vu dans le paragraphe 34 <[ue les composantes de la force élastique sont égales aux produits des composantes
du déplacement par ^ . Xous avons donc
^^' d.v ~ K'' dy K ^"' dz ~~ K
De ces relations on déduit
' 4^ "•^* '^ 4^ dy f\T, dz
<^es nouvelles relations sont précisément celles qui définissent les composantes du déplacement, i désignant alors le potentiel. Pour justifier la manière dont nous avons défini, d'après Maxwell, les composantes du déplacement électricjue, il nous faut montrer que la pression «^ en un point du fluide inducteur n'est autre chose que le potentiel.
DISTIUDL'TIOX ÉLECmiQUE 3i
39. — Le fluide îiulncteur étant incompressible, nous avons la relation
(If dir fJh
dx dy dz
qui devient, en ten.ant compte des relations (8),
dx dx dy dy dz dz
la fonction 4 satisfait donc îi l'une des conditions imposées au potentiel. Elle est aussi, comme le potentiel, constante à Tintcricur d'un conducteur, car Télectricité qui remplit les conducteurs n'est pas élastique, par conséquent X, Y, Z sont nuls et il doit en être de même des dérivées de A.
Quand on passe duu point du diélectrique h un point intérieur d'un conducteur les dérivées de la fonction A, ne sont pas continues puisqu'elles passent d'une valeur finie h zéro. Mais la fonction elle-même reste continue. Kn cllet, si la pression n'était pas la même des deux côtés de la surface qui limite le conducteur l'équilibre n'existerait pas, pnis<[uc le (luide électrique étant inerte, toute différence de pression aurait pour elTet de faire mouvoir ce iluide.
La fonction 'i jouit donc de toutes les propriétés du potentiel ; par suite la pression du fUiide inducteur en un point est précisément le potentiel en ce point.
40* — Montrons enfin que la théorie de Maxwell conduit à la même expression que la théorie ordinaire pour l'épaisseur de la <*ouche électrique située à la surface d'un conducteur.
Soient S (fig. 4) 1** surface qui sépare l'électricité du fluide indue- If s\^s'
teur dans l'état d'équilibre normal, et S' la surface de séparation dans l'état d'équilibre contraint. L'électricité libre étant l'excès de la
quantité de fluide électrique contenue dans le conducteur dans l'état d'équilibre contraint sur la quantité qui s'y trouve
ià lIlhOHIE DU bEI'LACEMESr ELECTRIQUE DE M.IXIVELL
riorriiîiWriiHrrit, lu charge du conducteur ost la quantité de fluide roniprlse entre les deux surfaces Set S'. Ce fluide étant iuconiprensilile, la charge en cha(|uc point est donc proportionnelle a la distance normale qui sépare les deux surfaces. Considérons une molécule du fluide inducteur située, dans Tétatd'équililire normal, en un point m de la surface S ; dans Tétat d'équilibre contraint cette molécule viendra en /;/' sur la surface S\ l,e triangle ninin\ dont le côté mn est la distance normale qui hépare les deux surfaces, peut être considéré comme un triangle rectangle en //. I/épaisseur de la couche électrique est donc égale il la projection du déplacement sur la normale à la surface (en réalité le déplacement est normal à la surface, mais nous n'avons pa» besoin de faire intervenir ici cette propriété du fluide inducteur^, (^'tte projection a pour valeur
~ ' '^ ^ • 4- \ (Lv ^ • dy ' dz I 4:: dn
C^'est bien la valeur (pie donne la théorie ordinaire pour l'épaisseur de la couche électrique.
41. — Dans ce qui précède, nous avons été amenés \\ supposer que la pression dans le fluide inducteur est égale à 'i. Nous nous trouvons donc en contradiction avec une autre théorie de Maxwell, où Ton trouve (pi<' la pression en un point du dîélec- Iricpie, au lieu d'être égale au potentiel, est proportionnelle
à ^ ( — ~- j . Nous reviendrons plus loin sur cette contradiction.
42. — La méthode précédente n'est pas la seule (juc Ton puisse employer pour déduire de la théorie de Maxwell les lois de la distribution électri<[n(». Klle a (railleurs Tinconvénient de n(» plus subsister si le fluide inducteur n'existe pas ou si dans ce fluide il n'y a pas de pression. Ayant fait remanpier «pie riiy|)oth('se du fluide inducteur ne devait (^tre considérée «pie comme un<' hypothèse transitoire, il n'est pas inutile d'indiquer une autre méthode donnant les lois de la distribution électri(|ue sans su|>poser l'existence de ce fluide. Kxposons cette méthode.
