I rfT(U+Xî+Yr.+Z

d'autre part, nous avons en differentiant (i) par rapport h /,

Or le second membre de cette relation étant une fonction linéaire de J, y,, Z, et leurs dérivées, nous pouvons écrire,

OÙ Uy représente l'ensemble des termes indépendants de ^, 'f^, ^. L'intégration par parties nous donnera»,

aju f a.r

puisque les intégrations sont étendues à tout l'espace et que toutes nos fonctions s'annulent à l'infini.

396 ÉLECTRODYSAMIQUE DES CORPS ES MOUVEMEST

La relation Ci) devient donc

^^ l rf.[u,+ s(v,-^-...)4-,(v-...)+riv,-...)]

OU encore

(4) ^= / ''^(U. + Xj + Y^r. + Z/,).

En identifiant cette expression (4) à la précédente (2), on trouve

ce qui signifie que la force qu'il faut appliquer à l'élément de volume d'z pour équilibrer l'action du champ sur cet élément, a pour composantes,

et (juc, par conséquent, l'action du champ est

delà va nous pernictlre de calculer 1 action du champ sur Télé m ont (h.

323. Energie électro-cinétique et énergie élastique d'un champ magnétique. — Mais avant d<' passer an calcul de cette action, indicpions une Iransloi inalion utile pour les calculs (jui vont suivre.

ÉSERGIE ÉLECTRO'CISÊTiqrp DIS CHAMP MAGyÉTfQi'E 397

L'énergie magnétique a pour expression, d'après Hertz,

d'autre part nous avons

, rt = a -[- 4^^^^ = jjia + 4"^^^,

J /,= ^3 + 47:B = a|i+4TrB„

c = y + 471C = txy + 47:C„.

(A, B, C) étant le vecteur que nous avons appelé aimantation totale et (A^, B^, CJ étant le vecteur que nous avons appelé aimantation y;e/7;/rt/2C///(? ; nous tirons de là,

(•x i) a = 4ti (A — A,), .(^a-i):i=4T:(B-BJ,

(A — A^, B — lijj, C — C^) étant les composantes deTaimantalion induite. On en déduit aisément,

d'où

,^a^ = a^+ -^^^ (A — a;/ ; etc.

' [JL I

En substituant ces valeurs de jjia^, jjl|3-, [xy'^, dans la relation (i), cette relation devient,

où la seconde intégrale du second membre est, au facteur —

près, le carré de raimantatlon induite.

Quelle est la signification physique de cette relation ?

Nous savons que, d'après Ampère, dans un aimant tout se passe comme s'il était parcouru par d'innombrables courants

398 ELECTRODYyAMiqVE DEJS CORPS EN MOUVEMENT

particulalres. Dans les aimants permanents ces courants sont tous orientés de la même manière ; mais il n'en est plus de même dans les aimants induits. Pour expli([uer, en effet, le fait que ces corps, susceptibles de s'aimanter par induction , s'aimantent dans un champ magnétique et qu'ils perdent leur aimantation dès que l'action du champ est supprimée on est obligé de faire une hypothèse supplémentaire : il faut supposer que ces courants d'Ampère ont une direction variable. Tant que le corps à aimanter ne se trouve pas encore dans le champ magnétique ces courants particulaires sont orientés indifféremment dans tous les sens; le moment magnétique est par conséquent nul : l'aimantation résultante est nulle; mais dès que le corps en question se trouve placé dans un champ magnétique, les courants particulaires vont tendre à se rapprocher d'une orientation commune ; le moment magnétique ne sera plus nul et l'aimantation induite apparaîtra. Le champ magnétique vient-il à être supprimé ? Les courants vont reprendre leur orientation primitive et le moment magnétique redeviendra nul. Tout se passe comme si le milieu magnétique était déformé par Taclion du champ (comme le serait par exemple un ressort bandé) et reprendrait sa position d'équilibre, en vertu de la force élastique mise en jeu par cette déformation, dès que le champ aurait cessé d'agir. Il en résulte que Ténergie totale magnétique se composera de deux parties :

I** L\''/irrs(ie clcctio-cinctiquc des courants particulaires, et '.>" Ycncrg'n* due à la force êlifsti(^ue, dont je viens de parler.

I.e premier terme de l'expression [jt ; est l'énergie électro-cinéti(jue et le second terme,

représeule celle énergie élaslicjue [)ai'liculière.

Maxwell, dans son raisonnement sur les aimants, a calculé seulement le travail des forces magnéti([ues proprement dites; il néglige le travail de la force élastique (jue nous venons d'invo([uer ; aussi son <'xpression de Ténergic magnéti([ue est en désaccord avec le principe de la conservation de l'énergie et

ÉSERGIE ÉLASTIQUE D'iN CHAMP MAGNÉTIQUE 399

même avec les résultats qu'il a obtenus lui-même dans une autre partie de son Traité classique.

Voyons maintenant la valeur de cette énergie élastique. Supposons que les courants particulaires soient écartés de leur position d'équilibre primitif par Faction d'un champ magnétique ; l'énergie potentielle qui en résulte est proportionnelle à cet écart, si cet écart est petit ; par conséquent le moment magnétique résultant sera proportionnel à l'écart

fA-A..?

et par suite le carré de Taimantation induite sera proportionnel au carré de l'écart. Il en résulte que le travail des forces élastiques est proportionnel au carré de cette même quantité : c'est bien ce que la seconde intégrale de la relation (2) indique.

324. Calcul des actions mécaniques exercées par le champ électromagnétique sur la matière. — Nous avons vu précédemment que Tcnergie totale se compose de Ténergie niagncti{[ue et (le rénergic électrique. Désignons la première par J^ et la seconde par J^. Nous avons donc,

'- rèi

>■= I ii^^'-

Comme nous l'avons déjà dit nous mettrons le principe de la conservation de l'énergie sous la forme,

La première intégrale exprime l'énergie fournie par la pile

4oo KLECTRODïyAMIQL'E DES CORPS EX MOi'VEMEM

moins l'énergie dépensée sous forme de chaleur de Joule, efTet Peltier, etc. Il suffit pour s'en convaincre de remarquer que ce terme est indépendant de la vitesse de la matière. 11 a donc môme expression que dans le cas des milieux en repos, que nous avons examiné plus haut. La seconde intégrale représente le travail des forces extérieures que nous avons invoquées pour écjuilibrer les actions mécaniques produites par le champ. L'action du champ aura donc pour composantes suivant les trois axes,

Pour calculer ces composantes je supposerai que les différents corps matériels conservent le môme \x et le même K en se déplaçant dans l'espace. Ceci revient à écrire que,

or,

dt "^ " dx ^ ' d,J ^ ^ dz

ce qui peut s écrire,

•JL t

M dt jLj ' d.

don

du. VI f. d'j.

— ^ est donc fonction linéaire de H, y !^. — Prenons mainteat ' .

nant 'xt et développons cette expression, il vient,

<f (r,r s d .^ ^ ^Vlr/jxa

dij ' ^'^ •' dz ' ' • • \^ d.v

on voit que celte expression est également une fonction linéaire de ç,r.,^ et leurs dérivées et il en sera de même de — ^r— ,.etc.

ACTION ÉLASTIQUE DU CHAMP* MAGNÉTIQUE 4oi

En effet, les équations fondamentales de Hertz s'écrivent,

rfua rfO rfR r n

d'où

— i— — := UL -4- a — '— :

r/a rfaa rfix

(JL — — * .^^ ^ , * .11*

^ dt dt dt '

[JL -j- sera donc encore une fonction linéaire de Ç, rj, ^ et leurs dérivées.

Ceci étant établi, évaluons —7-^. Nous avons en différentîant

par rapport à / l'expression de J,,

■-Jèl{"^^-^w)

et nous voyons, d'après ce que nous venons d'établir, que la fonction qui figure sous le signe I est linéaire par rapport à 5, r^, ^ et leurs dérivées. Je puis donc écrire

OÙ U, est Tensemble des termes ne dépendant pas de ç, r,, ÎJ et de leurs dérivées et H, celui des termes dépendant de Ç, r,, ^ et de leurs dérivées; IIj sera donc un polynôme homogène et du premier degré par rapport à ;, yj, !J et à leurs dérivées. On trouvera par un calcul analogue

dl PoiNCARÉ. Électricité et Optique. '^6

4o!i KLECTRODYyAMiqUE DES CORPS EX MOIVEMEST

L'intégration par parties nous permettra de mettre | H^^t

et I II/Zt sous la forme suivante,

h../t= / rfTyx.5,

de sorte que —j- devient finalement,

A.[Vx.i+^X.:]

En identifiant cette relation avec la relation (i) on trouve,

Yo = Y. + Y,,

La première relation

nous apprend que L', -j- L^^ correspond à rénergie créée par la pile moins celle ([ui disparaît sous loiine de chaleur de Joule. Les autres relations nous montrent que Ic^s projections de Faction du champ sur les trois axes sont

— iXj + X/ (h,

- iv, + V. 'f--^

ACTIONS MÉCANIQUES DU CHAMP MAGNÉTIQUE 4o3

Ces composantes comprennent, comme on le voit, deux parties,

— Xj dr:,, — Xj rfr,

— Y, rfT, — Yj rfr,

— Zj rfT, — Zj chf

( — XjrfT, — Yj^T, — Zj^t) représentent les composantes de l'action du champ magnétique sur la matière ; les autres composantes sont celles qui proviennent de l'action du champ électrique sur la matière.