I. — Actions mécaniques du champ magnétique
Je commencerai par faire une hypothèse : je supposerai qu'il pourra y avoir des corps susceptibles d'aimantation, c'est-à-dire des corps tels que pour eux ;ji.^ i, et des diélectriques pour
lesquels K ^ i ; mais je ferai une restriction : je supposerai que
si le système considéré peut contenir des corps pour lesquels
a ^ 1 et K ^ 1, ces corps seront solides. On n'aura donc ni
corps magnétiques fluides, ni diélectriques fluides autres que l'air. — En dehors de ces corps solides je supposerai toujours
Nous avons
w^.=/feE^-=/^S-+/êI'^
-iK;
la première intégrale du second membre sera étendue à l'espace tout entier; la seconde ne s'étendra qu'aux aimants solides.
Nous avons trouvé précédemment
4b4 ÉLECTRODYNAMiqUE DES CORPS EN MOUVEMENT
Posons maintenant,
(jx — i) a = 47r (A — A^) = a'
et (le même
(jx— i) y=y';
»n en tire aisément
■ }Aa = a + a',
{ibis) {X?=? + ?',
! ;^y = yh-y';
et la relation (i) devient,
Formons maintenant —r- - Différentions pour cela la rela-
dt ^
lion (3) sous le signe 1 . Seulement, pour avoir le droit de dîffé-
rentier sous le signe | il faut que le champ d'intégration soit le
même au temps t et au tçmps t -f- dt. Pour la première intégrale on n'a pas de difficulté, car elle s'étend à l'espace tout entier ; mais ce n'est pas ce (jui arrive pour la seconde intégrale qui ne s'étend qu'aux solides aimantés. Etendons cette intégrale à un seul solide aimanté ; ce solide se déplaçant, le champ d'intégration sera variable au temps t et au temps / -\- dl. Mais tournons la dlUîculté en considérant un observateur lié à ce solide : pour cet observateur le champ d'intégration sera le mémo à l'époque / et à l'époque / + <//; seulement il nous faudra alors prendre la dérivée par rapport au tenq)s avec des 0 ronds. On aura donc,
AV
('- ^ l ÉL\^ ^ !!^^ i EL ' '^ X 'i
car -^ ■■:= o comme nous l'avons supposé plus haut.
ACriOyS MÉCANIQUES DU CHAMP MAGNÉTIQUE 4o5
Mais comment obtenir cette dérivée -r^ 7 a''?
àt Zj
Pour calculer cette dérivée utilisons le théorème que nous avons démontré un peu plus haut (308) ; nous avions démontré que si N est la valeur absolue d'un vecteur (a, p, y)» ^^ a alors,
- , ôN VI doL V r 1
ou bien, en remplaçant N par sa valeur,
et souvenons-nous que la démonstration de ce théorème supposait c|ue le point considéré appartenait à un corps solide : c'est précisément notre cas. Appliquons ce théorème au vecteur a! ; il vient.
En divisant les deux membres de cette relation par u — i et en tenant compte des relations (2), on aura
c'est précisément la valeur de la dérivée que nous voulions évaluer.
La relation (4) devient donc,
/fx dî. / rfT VI /d% dyl r /,\
(5^ -rfr=/ i^2j«(rfr+^-M)-
' 4tc 2j * \ rf^ ' dl ^
Evaluons
doL dyl r /i
dl ^ dt ^ -'
Remplaçons à cet effet dans les équations de Hertz [xa par sa valeur (2 bis). Cela nous donne,
rfa rfa' rfQ rfR r 1 , n
dt dt dz dy ^ ^ ^ ^
4o6 ÉLECTRODYNAMiqVE DES CORPS ES MOUVEMENT
dt^dt 1 J dz dy ^'- '•
La relation (5) peut donc s'écrire,
Remarquons maintenant que la quantité sous le signe j contient deux parties différentes : la première partie --r n — est
CL w CLti
indépendante de ï,Ti, s et de leurs dérivées et Tautre partie en [al qui dépend, au contraire, de ces quantités et leurs dérivées : elle est fonction linéaire de ces quantités. La relation (6) peut donc se mettre sous la forme,
= / (U, + II) rfT,
d'où, en identifiant avec (6)
rfQ d\\
(7) 47:11. =y^ a ja].
Maintenant, une fols que nous avons M,, nous allons en tirer X,. Voici romnient.
Par intcfriation par parties, 11^ peut se mettre sous la forme
ou, en V faisant -r = 1 -^= o
