DISTRIBUTION ÉLECTRIQUE

Pour qu'un système soit en équilibre, il faut et il suffit que son énergie potentielle soit minimum. Nous obtiendrons donc les conditions de l'équilibre électrique, en exprimant que l'énergie potentielle W est minimum, ou, ce qui revient au même, que la variation de W est nulle quand on donne à /*, g, /r, des accroissements quelconques compatibles avec les liaisons. Or, quelle que soit la théorie adoptée, /, gy A, doivent satisfaire a la relation

dx dy dz '

qui exprime l'incompressibilité du milieu.

D'autre part, considérons un quelconque des conducteurs du système. La charge M de ce conducteur sera une des données de la question. On devra donc avoir

/(«/■+ Po" + ï/')<'" = M

l'intégrale étant étendue h tous les éléments diù de la surface du conducteur ; a, ^,y désignant les cosinus directeurs de la normale à cet élément et M une constante donnée.

Ecrivons que la variation de l'énergie potentielle est nulle ; nous avons

aw=/^,/,

Mais à cause des liaisons nous avons aussi

I (aS/H- ?3«^ + T^'O û?w = o,

l'intégrale étant étendue à tous les éléments de volume rfr du diélectrique.

Le calcul des variations nous apprend qu'il existe une fonction •i telle que l'on ait identiquement

rS^V-*S^'^]'"=»-

PoiN'CARÉ. Electricité et Optique.

34 TIIÉOniE DU DÉPLACEMEyr ÉLECTRIQiE DE MAXWELL

En intégrant par parties Tintôgralc correspondant au second terme de la parenthèse, nous obtenons

Cette équation devant être satisfaite identiquement, tous les éléments de la première intégrale doivent être nuls ; on a donc

K '^ dx '

ce (jui est précisément la relation donnée par Maxwell. Il reste

J"'i (ao/*+ »So^'4- vo/<) diù=zo.

L'intégrale étant étendue à tous les éléments de surface de tous les conducteurs.

Cette é(jiiation devra être satisfaite pour toutes les valeurs de o/*, og^ Kth satisfaisant aux équations de liaison, c'est-à-dire telles ([ue l'on ait pour chacun des conducteurs

I (y.of-\- [liOg + voh) dti} = o .

Les règles du calcul des variations nous apprennent que cela ne peut avoir lieu que si i est constant à la surface de cliacun des conducteurs.

Ainsi le potentiel 'l a une valeur constante en tous les points de la surface de chacun des conducteurs, celte valeur pouvant varier d'ailleurs d'un conducteur à Tautre.