Formons maintenant les expressions

dy dz '

dz djc '

rfjî rfa

que nous avons rencontrées dans la théorie de Hertz.

Va\ remplaçant dans ces expressions a, |3, y, par leurs valeurs tirées de (9), on obtient pour la première

r/y d'^j d'G d'F d'F dm

dij dz dxdij dy- dz^ dxdz

d'V ajoutons et retranchons au second membre , , . il vient,

dx'

dy dz dx^ dxdy dxdz''

ou encore,

dy dz dx j^ dx '

et enlin, en tenant compte des relations (7) et (8) on obtient

, . ) doL d^'

d^i doL ,

dx dy

337. — Pour aller plus loin je me servirai des équations de La grange.

4a8 THÉORIE DE LORESTZ

J<î supposerai que le système est composé d'un grand nombre (le variables, et ([uc les coordonnées des diverses particules charj^ées de la matière, dépendent des paramètres yj, y,, 7,,-.. y« ; les déplacements dépendront aussi de ces quantités.

Désignons par T la force vive totale du système ; elle se compose de la force vive de la matière, T', et de la force vive de Téther que je désignerai par T". On aura donc

Kt si U désigne Ténergie totale du système, U' Ténergie due aux forces autres que les forces électriques, U" l'énergie due aux forces électriques, on aura encore,

Les équations de Lagrange peuvent alors s'écrire,

, , d (Tï rfT di:

^ dt dq dtj dq

Mais quelles sont les valeurs explicites de T" et U"? Je suppose que T" soit représenté par Ténergie magnétique ; cela revient à écrire

d'oii, par nu calcul l>len connu,

( I :>. bis)

V" c'est l'énergie potentielle de Téllier; je suppose que c'est rénergle électrique ; donc,

COSDVCTELRS Jîg

^, , , . , ,. • . '/T" dV , rfU"

Calculons maintenant les dérivées — r-7-, — -, — et

d(i' ' di/ dti

11 vient,

Kn ce qui concerne T", remarquons dans (12 his) que F est le potentiel d'une niasse attirante dont la densité est //; et si je donne alors un accroissement o« a //, Taccroissement correspondant de F sera oF ; Tintégrale (12 his) s'accroîtra par conséquent de (en ne considérant que le premier terme de I)

(Fow + uriV) ;

or, en vertu d'un théorème bien connu,

I d-z F riii =z I d^ ufjVy

donc

— ^ {y ou -\- uZF) = / ^tF o^^

et par suite,

et de la môme manière,

' df/ J Jiu dq'

fi .11 du du ^ . ,

Il nous reste encore a calculer et -7-7. Kt ici nous sommes

d(/ dfj

amenés à distinguer deux sortes de coordonnées (j :

1** Les coordonnées du centre de gravité de la particule considérée. Ces coordonnées suffisent pour déterminer complète-

43o THÉORIE DE LORE^TZ

ment la situation de la particule, si on suppose que la particule ne peut pas tourner sur elle-même. liorentz a d*ailleurs démontré que les particules étant infiniment petites, le moment du couple qui tendrait à les faire tourner sur elles mômes, est un infiniment petit d'ordre supérieur. Nous ne reproduirons pas cette démonstration, faute de temps ; nous nous bornerons h admettre la conclusion.

Les variables de la première sorte suffisent donc pour déterminer la position de la matière et par suite la position de Télectricité qui, d'après Lorentz, est invariablement liée l\ la matière.

'jy Les coordonnées qui définissent la position de Téther. La matière et par suite l'électricité ne seront pas afTcctées par la variation de ces coordonnées ; par contre, le déplacement {fy g^ h) subira des variations, car le vecteur [f, i^^ h) est fonction de la position de Téther.

Maintenant, quand les variables de la première sorte subiront des accroissements, ces variations afTecteront en même temps la matière et l'éther : Télectricité et le déplacement électrique.

338. a. Equations qui définissent l'état de Véther, — Cette distinction de coordonnées étant faite, revenons ii notre question ;

du du calculons —. — et— 7-7.

dq d(f

(^onunciK'ons par nous placer dans le r^/.s* des variables de la dcuA u'nie sorlc^ (pu dcfuiisscut la posilion de Vètlier, D'abord

il faut [)ar conséquent dillérentier cette relation par rapport à y. Or, z ne dépend pas de q (variable de la deuxième sorte), sa dérivée est par suite nulle, et il vient alors.

du d df

Je dis <{ue

dq dq dt '

d df d df dY

dq dt dt dq dtdq

ÉQVATioys qui défimssest L'état de vétueu 43i

Nous avons en effet,

et en diffère ntiant par rapport à q

d df^ d^f ,

d ^y' rty ,

dq dl Z^ dijidq ^' "

donc

d df d df \^ d'f , ^"^^ dq dl ~ dl dq~Zjdq,dq''''

I/équatlon (i8) devient alors,

. du <Pf

' ' dq dldq

r' 1 1 du.

Lalciilons encore -7-7 .

Nous avons,

^ rf/' df

dq' i dl dqi

donc,

dn r//-

r/y' dq '

Ecrivons maintenant les équations de Lagrange en ne considérant que les variables de la deuxième sorte. — Ces équations se simplifient si nous remarquons que T' et U', se référant à la matière, ont des dérivées nulles par rapport aux variables de la deuxième sorte qui se réfèrent à Téther. Les équations (i.i) s'écrivent alors, en tenant compte des relations (i5), (16), (i>o) et

4 J'i THÉORIE DE LORESTZ

Transformons ces équations. Prenons la première întéffralc et eflectuons la dillerentlation par rapport à t\ il vient,

df rfF

dt J ^'^^" d(j I *",«^* dldq ' I ^'i^rfy dl

La relation (S42) devient donc,

Or nous avons

■L^ dx et en différentiant par rapport à ^,

^J dxdq dq '

multiplions maintenant les deux membres de cette relation par y </t (6 étant une fonction ([uelconque, qui s'annule à rinfini) et intégrons dans tout Tespace ; on a,

mais romar([uons ([uc o ne dépend pas de tj (variable de la deuxième sorte] donc,

• jLà dxdq '

ou encore en inléj^rant par parties dans tout Tespace,

l • ^ dddq J • ^ d.v dq

ÉQCATfOyS QUI DÉnyiSSEST L'ÉTAT DE L'ÉTUER 433

et en introduisant cette fonction 4 dans les équations (sS) de Lagrange on obtient,

Pour que cette relation soit satisfaite, il suffit que

/ d¥ d'I At^ ^

rfG rf'Y> 4^

(in dà 47: ,

\ rfî ' r/= ' K

On pourrait montrer cela en se servant du calcul des variations qui nous montrerait de plus, qu'il n'y a que cette manière pour satisfaire a cette relation (24) [si entre p ci f il n'y a pas d'autre relation que la relation (2)].

D'autre part il est évident que les équations de Lagrange no peuvent comporter qu'une seule solution.

Cherchons donc une fonction ^ satisfaisant aux conditions (25).

DilFé reniions à cet effet la premit*re des relations (25) par rapport à .r la seconde par rapport à //, la troisième par rapport à - et ajoutons ; il vient ainsi

Zidx \dt ^ dx^ K„/~ '

OU encore,

(^«) lE^+^*+l;Sl-"

mais,

Y rfF Y ^y

La relation (26) devient donc.

Cette équation nous montre que la fonction ^ satisfaisant aux Poi.NCARÉ. Électricilc ci Optique. 28

Ot THÉORIE DE LORESTZ

(*oii(li<lioiis ^2;V, jouit des proprif'tés d'un potentiel : c'est le potentiel d'une musse attirante de densité n- . Posons maintenant,

et rerivons les relations ''.>.5j avec ces notations ; il vient.

dx'

dû dl

dll

l '^""" dl dz '

relations (jiii présentent une fçrande analogie avec celles de Maxwell .n"292, p. Mj).

Kii (llilérentiant la seconde de ces é({nations par rapport à r, la tr(»isiènie par rapporta y et en retranchant, on obtient

/() d\\ d fdW d(\

or, (» .

(Iz (hj dt \ dy dz

d\\ dG

— — ^ a, etc. ;

dy dz

(loue.

dl{

di)

l'io)

L«*s (Irux (Irnilrres écjualions s Ohlcnanl coninio la première. Tels sont les écjnations ([iii dé(iniss<*nt 1 étal de réthcr.

COMPARAISON AVEC LES RELATIOyS DE HERTZ 435

339. Comparaison avec les relations de Hertz. — En comparant les relations de Lorentz avec celles de Hertz, on voit immédiatement une différence très marquée : K est devenu constant et égal à K^ et a a complètement disparu dans les équations de I.orentz. Cela tient aux hypothèses que nous avons faites au commencement: nous n'avons admis ni magnétisme, ni diélectrique autre que le vide. On remarque aussi la disparition des termes contenant les courants de conduction. Cela ne doit pas nous étonner, car nous avons négligé, dans l'expression du courant total, les courants de Rœntgen et les courants de conduction (^, ^, /•) ; cette différence est visible en comparant les équations fondamentales de Hertz (en y faisant •jL == i) et les équations (3o) de Lorentz.

Comparons en effet les premières équations de chaque groupe. On a,

-J- = -T^ T- + » ••• Hertz

dt dz dij ^ ^ ^ ^ »

/a rfQ d\\

^Lorentz)

dt dz dy

et c'est précisément le terme en [al (jui contient le courant de Ru'nlgen et que nous avons négligé.

Et bien, je suppose qu'on ait repris le calcul précédent en tenant compte des termes qui contiennent le courant de Rœntgen <[ui a pour expression :

dz ^' ^^ dij

en d'autres termes je suppose que n ait pour valeur,

dans cette hypothèse on aurait trouvé comme conditions h satisfaire

^F d'I At^ ^ ,^,^ .

dÇj dà At: ,- ^ ,

dH dit 4^ I t rr.-.

436 THÉORIE DE LOUESTZ

et en posant toujours

on aurait trouvé h la place des relations (29) les relations suî vantes, *

P •-= — — iil -u (t V — t^i]

t finalement

dt dz

d% di) dl\

t// ^/r df/

dp dl\ rfl> .

df djc dz

dv dP r/Q

' df df/ d.r ^ ^ ' ^ '

c'est pr^'cis^'inml les cipiations tle IIcmIz,

Ainsi tlonc en tenant c(Mnj)t<' drs courants de Ilcpntgen dans les ('([nations de La^raii^e on retrouve les iMjuations fondamentales de lleii/. (]eci doit allirer noti'e attention, llappelons-nous, en eU'et, (jue nous avons (H»'» conduits ii introduire les termes [aj. j^jj, Y en t(Mianl compte des expériences dinduction magnétique. 11 sera donc intéressant (re\[)li([uer comment les é(|uations de Lurent/ sont c;ipai)les de rendre con]j)le de l'induction niagnéli(|ue ; nous verrons dans la suite (pTelles en rendent j)arraitement compte.

340. 1). Variables de la première sorte. — (lonsidérons une particule ni et appelons <y 1 abscisse de son centre de gravité.