Intégration des équations de Lorentz. — Résumons les

équations de Lorentz que nous avons établies précédemment. Nous avons trouvé,

dU dG

dy dz

dV d\\

dz dx

dG dF

rf.r dy

dy dz doL rfv

dx dy

AF = — 4-//, \ AG = — i'^r,

AU = — 4-if '.

K;^ ' 'df'^'dj 4- dG d'I

K„ ^^ dt ^ d,j

4r , ,l\\ dl

K''^-dr^-it-''- V '//■ .

^dx ~"

V dv

dt ' .1^ dx

IXTÉGRATIOy DES ÉQUATIONS DE LORENTZ 455

Nous nous proposons d'intégrer ces équations en supposant connu le mouvement de toutes les particules, ce qui revient à regarder p, $, r,, ÎJ comme connus.

354. — La méthode que nous allons employer va être analogue il celle dont nous nous sommes servis dans les oscillations hertziennes ('). Rappelons a ce sujet la dé6nition de ce qu'on appelle potentiel retardé.

Considérons un certain nombre de points attirants M et soit M^ le point attiré ; soit encore m^ la masse du point attiré et /\ la distance des points attirants au point attiré. Le potentiel en M^ est par définition,

Mais si les masses ni^ dépendent du temps, à cause de la densité p qui est fonction de j:, y, z et /, le potentiel va alors dépendre, lui aussi, du temps. En effet, la propagation d'une perturbation

(électrique ou magnétique) se faisant avec une vitesse finie^ ~~j= ->

(qui est la vitesse de la lumière), le potentiel pour se propager de M en M^ mettra alors un temps /„y/Ko; Taction en M^ se calculera donc en donnant à la masse m^ non la valeur qu'elle a à l'instant /, mais la valeur m'^ qu'elle avait à l'instant t — r^ y K^; la valeur du potentiel sera alors représentée par,

et c'est à cette nouvelle expression du potentiel qu'on donne le nom de potentiel retardé.

On peut encore considérer les potentiels retardés dûs a une matière attirante, qui au lieu d'être répartie en un certain nombre de points attirants, se constituerait en un volume attirant. Soit f[xy y, z ; t) la densité de la matière attirante et soit d-:' un

(') H. PoiNCARÉ. Oscillations électriques, p. 74. G. Cori*é et C. Xaud, éditeurs.

456 THÉORIE DE LORESTZ

élément de volume de coordonnées x', y' ^ z'. Le potentiel orcHnaire de ce volume attirant sera

f{.r',ff',z';l)d^'

r clant donné par

= (.r - .T'Y + (y - ,j'y + (.- - zj

Si la propagation d'une perturbation se fait avec la vitesse de la lumière, le potentiel retardé, défini comme ci-dessus, aura alors pour valeur,

En examinant ces deux dernières formules, on voit que dans le cas des potentiels ordinaires le numérateur (qui représente la masse attirante) ne dépend que de x' , //', z' . Tandis que dans le cas des potentiels relardés il est fonction non seulement de x' y //', z' mais il dépend aussi de .r, //, c, par l'intermédiaire de ;*.

355. — (^es préliminaires étant rappelés, voyons ce que devient

la relation de Poisson dans le cas dos potentiels retardés. Dans le cas des potcnliels ordinaires nous avions,