SPHÈRE PLACÉE DANS US CHAMP UNIFORME
résultante des actions qu'exercent les deux sphères sur Tunité de masse électrique située en un point intérieur .r, y, z,
jc^ désignant Tabscisse de 0'. Quant aux composantes suivant les axes des y et des z^ on voit facilement qu'elles sont nulles. Il faut donc, pour qu'une molécule électrique intérieure a la sphère soit en équilibre sous l'action du champ uniforme o et de l'électricité développée sur la sphère par influence, que la ligne des centres des sphères positive et négative soit parallèle au champ et que la distance de ces centres satisfasse à l'égalité
D'ailleurs, comme les densités des sphères ne sont assujetties qu'à la condition d'être égales en valeurs absolues, nous pouvons supposer que ces densités sont + i et — i. Il vient alors
égalité qui nous donne la distance des centres des deux sphères.
50. — Nous pouvons trouver facilement la valeur du potentiel résultant de la sphère influencée en un point M extérieur h cette sphère. L'action d'une sphère homogène sur un point extérieur étant la même que si toute la masse électrique était concentrée au centre de cette sphère, le potentiel en M a pour expression
rî'
R désignant le rayon de chacune des sphères, r et i-' les distances du point M aux centres O et O'. Nous appellerons w l'angle de la direction OM avec l'axe des x et nous négligerons les quantités
POLARISATIOS DES DIELECTRIQUES /|i
potentiel en un point situé à une distance rdu centre de la sphère, les termes qui dépendent de ces irrégularités contiendront une
puissance supérieure de — et seront négligeables, si /• est très
grand par rapport au rayon de la sphère.
Nous dirons alors qu'un diélectrique dont toutes les sphères sont polarisées est lui-même polarisé.
52. — Nous avons maintenant à définir les composantes de la polarisation électrique qui correspondent à ce qu'on appelle dans la théorie du magnétisme, composantes de la magnétisation.
Nous avons vu plus haut que le potentiel de notre sphère par rapport à un point extérieur était égal a :
^, COStt)
ou a
en appelant u le volume de la sphère.
Si Ton avait pris des axes de coordonnées quelconques, nous aurions trouvé pour le potentiel de la sphère polarisée, en appelant Xy 1/y z les coordonnées de son centre,
3w /(Il r dit r rf-^
^7Z \ dx dx dij dy dz d
Imaginons maintenant un élément de volume d'z du diélectrique, contenant un nombre très grand n de sphères, et cependant assez petit pour que le champ puisse y être regardé comme uniforme. Le potentiel des n sphères contenues dans cet élément sera :
d — , . rf — , . d —
inu I dit r d'I r , d'I
4~ \ dx dx dy dy ' dz d
dz dz )
4% THÉORIE DES DIÉLECTRÎQVES DE POISSOS
Posons
nit = hd'Zy
de sorte que h soit le rapport du volume des sphères nu volume total du diélectrique.
Posons en outre
k__}!léï. B— — — -^ (— ^^.
4^ ^^^ 4^ dy 4^ d^
il viendra pour le potentiel dii à rélêment polarisé (h
rf-'- d± rf-L
Les trois quantités A, B et (I sont les composantes de la polarisation^ et le potentiel dû au diélectrique entier s'écrira
rintégrale étant étendue au diélectrique entier; ou, en intégrant par parties,
.o— ir I d^ /iJL . 1^ . -r-N 1 ^'"^ / dX dB dC\
La première intégrale est étendue à tous les éléments rfto de la surface qui limite le diélectrique, /, m, et n désignant les cosinus directeurs de la normale à celte surface ; la seconde intégrale est étendue au volume entier du diélectrique.
63. — Soit maintenant V, le potentiel dû aux corps électrisés extérieurs. Soit s une quelconque des petites sphères conductrices ayant pour centre un certain point O et exprimons les conditions de réqulllbre électrique sur cette sphère.
Décomposons le volume du diélectrique en deux volumes par-
POLARISATION DES DIÉLECTRIQUE^ 43
tiels c' et {f" ; le second de ces volumes sera très petit et contiendra la sphère s.
Considérons une molécule électrique située en 0 ; cette molécule devra être en équilibre sous l'action :
1° Des corps électrisés extérieurs ;
2* Du volume i^' du diélectrique ;
y Des sphères autres que s situées à l'intérieur de v^' ;
4® De la sphère s.
Nous supposerons que le volume i'", quoique contenant un très grand nombre de sphères, est assez petit pour que les composantes A, B, C, puissent y être regardées comme constantes et nous choisirons les axes de façon que B et C et par consé-
quent -;— , —7 — soient nuls.
* dy dz
54. — Écrivons que les composantes de toutes ces actions suivant Taxe des x se détruisent.
Pour éviter toute confusion nous appellerons pour un instant .r, y, z les coordonnées du point attirant, Ç, v), 1^ celles du point attiré, de sorte que :
Nous rappelons en outre que A désigne le potentiel du champ uniforme qui produirait sur chaque sphère conductrice leur polarisation actuelle, et que le potentiel actuel est égal a V -j- V, = U. Nous continuerons à désigner les composantes du
, .^ dij d^ di^
champ unilorme par ~, — —^-^ — -~.
dx dtj dz
La composante due aux corps extérieurs sera -rp^-
La composante due à la sphère s sera -) ^ puisque, par
hypothèse, la sphère est polarisée comme elle le serait sous
l'action d'un champ uniforme d'intensité j-^«
dx
55. — Je dis que si la surface o* qui sépare les deux volumes partiels f^' et v^' est convenablement choisie, l'action des sphères autres que s et intérieures à i'' sera nulle.
4i THÉORIE DES DIÉLECTRIQUES DE POISSOS
En efTet soient a, i, c les coordonnées du centre d'une de ces sphères, le point 0 étant pris pour l'origine. La force électrostatique exercée par cette sphère au point O aura pour composante suivant Taxe des .r ;
in d'I^ r in d'^ «^ + 6^+^- — 3fl«
Il résulte de là que les actions des trois sphères qui ont respectivement pour centres les points
(a,6,f), {by c,a)y (c, Uyh)
se détruisent.
Si donc la surface t possède la symétrie cubique et ne change pas quand on permute les trois axes de coordonnées, les actions des diiFérentes sphères contenues à l'intérieur de cette surface se neutraliseront. C*est faute d'a^'oir fait cette hypothèse que Poisson na pas été rigoureux .
Nous supposerons, pour ilxer les idées, que la surface c est une sphère ayant son centre en O.
56. — 11 reste à évaluer l'action du volume f^'. Cette action est égale à
en appelant V l'intégrale
étendue au volume /; et on aura
V" désignant la même intégrale étendue au volume r", d'où
dV dW dV dl ~ dl dl
POLARISATION DES DIÉLECTRIQUES 45
Nous avons d'ailleurs, comme on Ta vu plus haut
V"= I i^(/A4-/,iB + «C)- / ilf-^+iË.o-S'i
\ dx dy dz I
la première intégrale étant étendue à la surface a* et la seconde au volume v^' , On en déduit :
d\" C diù ,,, r. . n^ i dl / dk r/B rfC \
Si le rayon de la sphère t est infiniment petit, il en sera de même de la seconde des intégrales du second membre de Tégalité précédente, mais non de la première.
D'ailleurs si ce rayon est très petit, A, B et C sont des constantes et nous avons supposé que B et C sont nuls. Il vient donc :
Or / est le cosinus directeur de la normale à la sphère ; c'est
donc — et Ton a :
