THÉORIE DES DIÉLECTRIQUES DE POISSON
Si au lieu de prendre pour axe la direction de la polarisation au point considéré, nous avions pris des axes quelconques, nous aurions trouvé, au lieu de Téquatiou unique que nous venons de démontrer, les équations suivantes :
en posant pour abréger :
OU
Nous écrivons d^ailleurs -7— au lieu de -—^ en revenant aux
notations habituelles, ce qui n'a plus d'inconvénient puisque
aucune confusion n*cst plus à craindre.
58. — On déduit de là en dillerentiant la première de ces é(|uations par rapport à .r, la seconde par rapport à y, la troisième par rapport à - et ajoutant :
tl\ dli (IC
( d\ dW dk. \
'^ ^'^■[17 ~^ -dif ^ ~dï }
Or V, est le potentiel des corps extérieurs, on a donc
AV, = o.
POLARISATIOy DES DIÉLECTRIQUES 47
D'autre part Téquatlon (3) montre que V peut être regardé comme le potentiel dû à une couche de densité
/A -h niQ 4- nC
répandue à la surface du diélectrique, moins le potentiel d'une ([uantité d'électricité répandue dans tout ce volume et ayant pour densité
rfA r/B dC
dy dy dz
Il en résulte que :
et par conséquent
dx \ dx I dy \ dy / dz \ dz
Or, U = V + V, désignant le potentiel, la comparaison de l'équation à laquelle nous venons de parvenir avec les équations fondamentales de l'électrostatique montre que K n'est autre chose que le pouvoir inducteur.
59. — Ainsi, dans un diélectrique constitué comme se l'imagine Mossotti, et de pouvoir inducteur K, le rapport du volume occupé par les sphères au volume total est égal à :
K On trouve d'ailleurs
^ dx dx
Le déplacement électrique de la théorie de Maxwell s'écrit alors :
^n dx 4^ K — i dx 4^ K + a dx
iS THÉORIE DES DIÉLECTRIQUES DE POISSOS
Les deux autres composantes du déplacement électrique sont nulles si, comme nous le supposons, nous prenons pour axe des .r la direction de la polarisation au point considéré. Si en même temps, revenant h nos notations du n° 4^, nous appelons '^ l'intensité du champ uniforme qui polariserait nos petites sphères comme elles le sont réellement, nous aurons :
60. — Nous avons vu que dans la théorie de Poisson et Mossotti la polarisation des petites sphères conductrices varie quand on fait varier le champ électrique dans lequel elles se trouvent placées, et que les courants qui se produisent dans ces petites sphères et résultant de cette variation peuvent être comparés aux courants de déplacement «le Maxwell. Il importe de comparer rinlensité de ces courants de déplacement dans les deux théories.
Pour cela je vais calculer la valeur de f du déplacement électrique dans la théorie de Mossotti et la comparer à la valeur de f que nous venons de trouver.
(Ihacune de nos sphères est polarisée comme si elle était soumise à l'action d'un champ uniforme d'intensité cp.
Donc d'après ce que nous avons vu au n*^ 49 *out se passe comme s'il existait deux sphères de môme rayon que la sphère conductrice. Tune remplie de fluide positif de densité i, l'autre de fluide négatif de densité i, et si la sphère négative, coïncidant dans l'état d'équilihre normal avec la sphère positive, suhissait sous l'influence d'un champ uniforme d'intensité '^ un déplacemont .1^ donné par la formule
Tout se passera donc comme s'il y avait déplacement en bloc des fluides électriques de chacune des petites sphères. Mais, les
tLARISArlO.V liES DIEI.ECTIIIQii:.-i -ist
p^ihëres coDiluctrices n'ucciipent pas le vulurac entier du diélei:i Irifjue ; elles sont séparées entre elles par un milieu isnhint I jouissant ilca môniea propriétés que l'iiir, et la somme do leurs [ volumes est au volume total du diélectrique dans le rapport de A à I- La somme des charges positives qui se Iroiivenl sur ces sphères est donc /( fois plus petite que la somme de ces mêmes ^ charges dans l'hypothèse oti tout le volume de diélectrique serait [ occupé par des sphères conductrices. Comme il en est de même I des charges négatives, il revient au même d'admettre que chacun I des fluides est répandu dans tout le diélectrique avec une densité A, ou que chacun d'eux n'occupe qu'une Traction h du volume du diélectrique avec une densité 1. La valeur du déplacement videmment la même dans les deux cas. Si nous , aduploDS la première hypothèse nous pourrons appliquer ii lu sphère diélectrique les formules du n* 49 c" y remplaçant j„ par A.c,, puisque dans ces formules la densité est supposée égale i I et que niuintenuiit elle est A. Cette quantité A.i„ est donc le déplacement moyen que suhit le lluide négatif dans le diélectrique soumis il l'inHuence du champ. Si nous rcmplaçuns j^, par [ sa valeur tirée de l'cqualion (i) nous avons pour ce déplaceet par suite pour le déplacement du (luide positif lègatif, qui ne diffère que par le signe du
ir.
par rapport au fluide précédenl,
Mais si par suite do cette relation les actions eslericures des I diélectriques sont les mêmes dans les deux théories, les intensités j des courants do déplacement n'ont pas lu même valeur dans l'une y et dans l'autre. En ellet. si nous portons cette valeur de /, dans I l'expression de ^ nous obtenons pour la valeur du déplacenienl [ dans la théorie de Poisson
5o riiÈoRiE DES DiÉLEcrniqvEs DE roissos
<[ui dilïcre do celle dn dOplaceniont dans la théorie de Maxwell, donnée par la formule (^i). Le rapport de ces quantités est
c'est aussi le rapport des intensités des courants de déplacement dans les deux théories. Dans Tair Tintensilé du courant de déplacement est nulle quand on adopte les idées de Poisson puis<[ue la formule '(>) donne /"' = o p(mr K r=: 1 et que le pouvoir inchieteur spécifi(|U(» de Tair est l'unité. Dans la théorie de Maxwell, le déplaciMnent dans Tair a, d'après la formule (4), la
vah'ur /-— -f—^ et par suite, contrairement à ce qui a lieu dans
la théorie de Poisson, rintensilé du courant de déplacement n'est pas nulle dans ce milieu. C/est là la diilerence la plus importante (pii existe entrt» les deux théories dont nous venons de comparer 1rs consé<juences.
61. Modification de la théorie de Poisson. Cellules. — Mais, ainsi (|ue nous l'avons annoncé au commencement de ce chapitre, il est possible en introduisant dans la théorie de Poisson quelques modifications secondaires de faire <*oncorder ses résultats avec ceux de la théorie de Maxwell. C/est ce <jue nous allons montrer.
Hemaripntns <[ue si les formuh^s j; et i7\ qui donnent // et le rappoi't des déplacements, ne sont pas homo<^éiu»s, cela tient à ce qm' nous avons pris Tunilé pour le pouvoir inducteur spécili(|ue (le la suhstanc** isolante cjui sépare les sphères conductrices dans ceUe de Poisson.
Il serait facile de vérifier <jue si nous désignons par K^ le pouvoir inducteur de cette substance, les formules .V: et (" deviennent
dette dernière formule montre que si K^ est très petit le rapport des déplacements est voisin de Tunité. Les intensités des courants de déplacement auraient donc sensiblement la même valeur dans les deux théories si K^ était infiniment petit, ce qui
I'llOI'AGAT/0.\ DE LA CllALElR Si
exige que A diflere in fini m eut pou de l'unité, c'esl-k-dire que l'espace non conducteur qui sépare les sphères conductrices soit infiniment petit. Or, nous n'iivans introduit l'hypothèse de lu forme sphérîqne des conducteurs disséminés dans le diélectrique que pour avoir plus de siinplicité dans les cnk'uls ; les conséquences restant vraies pour une forme quelconque des conducteurs nous pouvons nous représenter uu diélectrique comme formé de cellules conductrices séparées par des cloisons nou conductrices. Il sufGt alors pour fiiirc concorder la théorie de Poisson avec celle de Maxwell de supposer que ces cloisons ont une épaisseur inriiiiment petite, puisqu'alors h dllFère in6niment peu de ruuité et qu'elles sont formées d'une substance isolante de pouvoir îndui'teur spécifique K, infiniment petit. Montrons que cette concordance se retrouve dans toutes les conséquences de la théorie de Maxwell et qu'au point de vue mathématique cette dernière théorie est identique hvcc celle de l'oisson ainsi
62. Propagation de la chaleur dans un milieu homogène. — La suite des calculs nécessaires nous conduira à des relations tout il fuit pareilles it celles qu'a établies Fourier dans l'étude de la conductibilité de la chaleur. Dans le but de faire ressortir l'analogie mathématique qui existe entre les phénomènes électriques et les phiinoménes calorifiques, nous commencerons par rappeler brièvement la théorie de Fourier.
Cette théorie repose sur les hypothèses suivantes : quand deux molécules d'un corps sont îi des températures différentes, il y a passage de chaleur de la plus chaude k la plus Iroidc ; la quantité de chaleur qui passe pendant un temps donné est une fonction de la distance, qui tend rapidement vers zéro quand la distance
F- croit, et qui ne dépend pas de lu température ; enfin cette quan-
\ tité de chaleur est proportionnelle ii hi difTérence V, — ^V, des mpératures des deux molécules. 11 résulte de ces hypolh(?scs
Bque In quantité de chaleur qui passe pendant un temps dl d'une
Vjnolécule ii une autre est
- CAAV,
THÉORIE DES DIÉLECTHIQVES DE POISSOy
pince dans le sens du itux calorifique et C étant une quantité indépendante de la température.
63. — (^)nsidén>ns un parallélipipède rectaufrle infiniment petit AB(!iD A'B'C/D' ffij^. 6) situé dans le corps et prenons trois ax«'S de coordonnées respectivement parallèles à trois arêtes du parallélipipède. Soient ih son vcdunie, rfto la surface de sa section par un plan perpendiculaire à Taxe des .7-, a et h h's coordonnées di'S deux extrémités A et A' d'une arête parallèle à cet axe ; on
a la relation
ih = (lo) h — a).
Cherchons la quantité de chaleur ()cfiO(lf qui traverse la section Jio pendant l'intervalle do temps il(. Pour cela calculons de deux manières diflerentes Tintégrale
l'i^.C). qui donne la somme des quan-
tités de chaleur cpii traversent toutes les sections du parallélipipède perpendiculaires ii O.r pendant le trmps (ff.
L'intégration donne immédiatement, si Ton regarde comme constante la quantité de chaleur cpii traverse cha<jue section rf(»> du parallélipipède Infiniment petit^
()(lioilf{h—(i) = Qfh(lf.
64. — Pour trouver une autre expression de cette quantité, coupons le parallélipipède par une section <|uelcon<pie KFGII perpendiculaire a O.r et prenons de part et d'autre deux molécules M et M'. D'après les hypothèses de Fourier la quantité de chaleur qui passe de Tune à Tautre pendant le temps d( est
(jtK = — C<//AV,
