DISCUSSION DES AUTRES TIIEOHIES

452. — Ainsi la théorie de Hertz satisfait aux deux dernières conditions ; il nous reste à voir qu'elle est la seule qui y satisfasse.

Quelles que soient les hypothèses qui nous serviront comme point de départ, nous arriverons toujours \\ deux groupes de trois équations aux dérivées partielles, analogues à celles de Hertz et auxquelles devront satisfaire les deux vecteurs (a, j3, y) et (P, Q, R).

Remarquons que les équations de Hertz satisfont aux trois conditions suivantes :

i** Elles sont linéaires et homogènes par rapport à a, ^, v; P, Q, R et à leurs dérivées;

'jj* Elles sont linéaires mais non homogènes par rapporta S, -r,, î^ et à leurs dérivées;

\\^ Elles ne contiennent que des dérivées du premier ordre tant par rapport à / que par rapport à .r, y et z.

Je dis qu'on peut toujours supposer que les équations (jue Ton doit substituer à celles de Hertz satisfont à ces mêmes conditions :

i** On peut supposer qu'elles sont linéaires par rapport aux composantes de la force électrique et de la force magnétique ; si en effet elles ne Tétaient pas et si les perturbations électromagnétiques étaient très petites, les termes d'ordre supérieur disparaîtraient devant les termes du premier ordre ; si donc ces équations étaient compatibles avec les principes de l'action et de la réaction et de la conservation de l'électricité et du magnétisme, elles ne cesseraient pas de l'être quand on les réduirait à leurs termes du premier ordre par rapport à a, ^, v; P, (^, R.

2" On peut supposer qu'elles sont linéaires par rapport aux composantes delà vitesse ?, r,, s? si, en effet, on suppose que ces composantes sont très petites, les termes du second degré et de degré supérieur en ;, r,, !Ç, seront négligeables; si donc ces quantités étaient compatibles avec les principes, elles ne cesseraient pas de l'être quand on les réduirait à leurs termes d'ordre 0 et / par rapport à ;, -/;, !J;

6oî A PROPOS DE LA TIIKOIUE DE LA RM OR

3" On peut supposer (jumelles ne contiennent que des dérivée

(lu premier ordre ; si en efi'et on suppose que la perturbatio

lll varie très lentement, c'est-ii-dire qu'elle est à très (grande Ion

I ^ueur d\mde, les dérivées d'ordre supérieur seront négligeables

si donc les équations étaient compatibles avec les principes elles ne cesseraient pas de l'être quand on les réduirait à ceux d Il leurs termes qui dépendent des dérivées du preinîer ordre.

Supposons donc remplies les trois conditions énoncées pli liant.

Pour former les équations nouvelles, nous reprendrons b équations de Hertz et nous ajouterons respectivement aux pn miers membres des trois équations du premier groupe les ternu complémentaires,