AR,, AU,, AR
Nous ajouterons de même respectivement aux premiers nien bres des trois écjuations du second groupe les ternies compb mentaires.
Nous avons obtenu le principe de la conservation du nu gnélisme en opérant sur les é(juations du premier group< les diflerentiant respectivement par rapport à .r, y qX z et ajoi tant. Kn opérant do celle manière on retrouvera ré([uation d la eoiiscivatlon du nia<^iiélisme, mais avec le terme compb mcnlairr
le principr do la conservation du nia<jjiiélisme exige donc <iue
l.V ' dlf ' dz
tr>'
do mémo lo princi[)0 do la consorvalion do l électricité exi<y
(Jllc
(l.l (11/ (IZ
DISCi'SS/Oy DES AUTRES THÉORIES 6o5
Ces équations montrent que Ton peut poser
R = ^ -^ ' dtj dz
^ dz dx
* d.v dy dn^ dm^
^^='dji-'-dr' ^ ^/t, ^//,
* dz dx dm. dl.
' dx dij
Si nous voulons, comme nous l'avons supposé plus haut, que les équations ne contiennent que des dérivées du premier ordre, il faut que les nouvelles fonctions auxiliaires ;^, Yj,, ÎÇ^ ; /j, //?,, /?, dépendent seulement de a, [j, y; P, Q, R ; \^ r,, I^ et non pas de leurs dérivées.
Ces fonctions seront d'ailleurs linéaires et homogènes par rapport à a, [j, y; P, Q, R, puisque les équations doivent être linéaires et homogènes par rapport à ces composantes et h leurs dérivées.
Elles seront d'autre part linéaires et homogènes par rapiport à q, 7), Ç ; en eflet les équations ne doivent contenir que des termes d'ordre o et d'ordre i par rapport à ces composantes et à leurs dérivées ; il est évident d'ailleurs que Çj, r^^, î^^; /,, //i^, /«,, qui doivent disparaître dans les équations relatives à Télectrodynamique des corps en repos, ne contiennent pas de termes de degré o en S, r,, Ç.
Il nous reste à voir si ces équations peuvent être compatibles avec le principe de la réaction. Pour cela je rappelle comment nous avions obtenu dans la théorie de Hertz le principe de la conservation de l'énergie {ylde supra , 2" partie). Nous étions arrivés à une équation
6o6 A PHOPOS DE LA THEORIE DE LARMOR
OÙ J représentait Ténergie électromagnétique, *^ le travail d< forces extérieures, K la chaleur de Joule.
Va\ opérant de même sur les équations transformées nous ol tiendrons :
(5 bis) ^ + ^o + ^6, = K,
^O figure déjà dans l'équation (5) ; K est la chaleur de Joule enfin ^5^j est un terme complémentaire provenant des termes con plémentaires Rp R2,... S3.
On aura donc,
Le signe > représente toujours une somme de trois termes
on déduit les deux derniers du premier en permutant circuLi rement .r, //, c ; a, ,3, y ; P, Q, R ; ;^, r,,, j;,; /,, ni^, n^. L'intégration par parties nous donne,
Soient <^/, ^,r, les composantes de la force pondéromotricc dai la théorie de Hertz ; soient a -\- a^ b +/>,, ^-f-c-, les composante de cette mémo force dans la théorie transformée.
Le ternie 'O, représentera alors le travail de la force pondère motrice u/,, /;,. r,).
(lomme la force de la théorie de ïïerlz (//, h, c^ satisfait a principe de la réaction, il faut que la force complénientair (<^/p Aj, c^] y satisfasse également et par conséquent que Ton ait
(les conditions peuvent encore s'énoncer autrement : il faut nu "b^ soif nid quand on donne ;, 7,, ilT, des Kudcurs constantes.
D/sccss/oy DES AvrnEs théories 607
Si doue nous donnons à ;, r,, I^, des valeurs constantes quelconques, et que nous remplacions a, |j, y; P, Q, R par des fonctions f/nelconfjiies de .i", 1/, r s'annulant à rinfini, l'intégrale ^?^, devra s'annuler.
Mais ^^j peut encore s'écrire sous la forme d'une somme de trois termes en posant :
et
i rfT /^ ^3 r/v rfQ ,/R X
^/t /r dy ^ dfx , rfR r/P
' = / -4. ^-./y-^^rf//- + '•^//-"■
Je dis que les trois termes U, V, W doivent s^mnuler tous les trois.
En effet, remplaçons les si\ composantes a, ^3, y; P, Q^ R par six fonctions quelconques de x^ y^ z\ la somme U + V H- W devra s'annuler.
Remplaçons maintenant ces mêmes composantes par les six
mêmes fonctions de X,.r, A^?/, "i-^z-, (\, A^, A3 étant trois coefficients
constants arbitraires). U se changera en -r^ — , V en -^r^r — ,
W en ^r-^; — . Et comme T, reste toujours nul, on devra avoir,
A^Aj '*l''3 '*l'*2
et cela quels que soient les coefficients A; on doit donc avoir séparément,
Dans U, la fonction sous le signe / est linéaire, d'une part par
rapport à a, [î, y ; P^ Q, R, d'autre part par rapport aux dérivéf> de ces six composantes prises par rapport à «r. (Considérons une intégrale de la forme,
Quelle est la condition pour que cette intégrale s'annule, (juelles que soient les fonctions'^,, 'f ^ qui seront seulement assujetties à s'annuler à l'infini?
Je dis que la condition nécessaire est suffisante, c'est que la
(|uantité sous le signe / soit une dérivée exacte. Fin effet, d'après
ce que nous avons dit plus haut, la condition est éWdemnient suffisante et on a en particulier.
L'intégrale proposée se réduit donc ii,
(>oiniii(' ï, est uiu' (oiiclion arintrairc de .r, ?/, -, \(, pro-
duit
sera aussi une ioiiclion absolument arbitraire de ces
varial)les et Tiiitégrale ne pourra s'annuler (jue si
e'est-îi-dire si,
est une dillérentielle (»xaete.
La condition est donc néeessaire.
Considérons maintenant une intégrale où la fonction sous le
DISCC'SSIOy DES AUTRES THÉORIES 609
signe 1 ser.1 linéaire, d'une part par rapport h n fonctions arbitraires.
d'autre part par rapport à leurs dérivées :
dx ' d,v '"* d.v
La condition nécessaire et suffisante pour que cette intégrale s'annule toujours, sera encore que la quantité sous le signe / soit
une dérivée exacte.
La condition est évidemment suffisante. Je dis qu'elle est également nécessaire.
En effet les fonctions 'p étant arbitraires, l'intégrale devra être nulle, en particulier quand toutes ces fonctions, seront identiquement nulles sauf deux ; si donc nous égalons à zéro toutes les fonc-
doit être une dérivée
exacte; les termes '^^ — ji-^etcs^ — j^-^ doivent donc avoir même
' dx ' dx
coefficient : ce qui veut dire que les conditions d'intégrabilité doivent donc être remplies.
Appliquons cette règle au cas qui nous occupe. Nous verrons que,
et de même
5A — ^A + ^i^ï^ — 'îj^ï^i r,,rfa — i//,3 + ///^rfP — /,./Q,
doivent être des différentielles exactes.
La première de ces expressions, où ne figurent ni rfa ni rfP doit être la différentielle d'une fonction indépendante de a et de P.
Donc, ;,, yj^, /i, et m^ ne dépendent ni de a ni de P ; et de môme i^, Ç„ /j, n^ ne dépendent ni de P ni de Q ; Yi^, \^. //i^ et l^ ne dépendent ni de y ni de U.
PoiNCARÉ. n'eclrîcilé et Optiq; c. 39
6io A PROPOS DE LA THÉORIE DE LARMOR
Il résulte de là que Si et l^ peuvent dépendre seulement de a et de P ; t<, et m^ seulement de ,3 et de Q ; ÎÇ^ et /i,, seulement de Y et de R.
Les conditions d'intégrabilité nous donnent ensuite,
d'où
^/a rf|4 rfy
On trouverait de même
dL dm. dn.
/P dil dï{
Ainsi ij, T„, sp /j, //!,, /ij, ne pourront dépendre respectivement que de a, [3, y ; P, Q, R.
Les conditions d'intégrabilité donnent enfin,
filj ^ rf^ __ rf^i dnl^ d/l^
dV ~ di) ~ dix ~ doL ~ rf? ~ ~d^'
c'est-à-dire que ;^, r,,, IJ^, /,, m^, n^ devront se réduire à un même facteur près à P, C^, R ; — a, — |3, — y.
Ce facteur constant devra d'ailleurs être une fonction linéaire et h<mH)<>j(Mâe de ç, r, , Z.
Mais si nous faisons intervenir une condition nouvelle celle de VisotropiCy nous verrons ([ue ce facteur constant doit être nul; car si ce facteur s'écrivait par exemple.
la direction dont les cosinus directeurs sont proportionnels à Aj, Aj, A3 jouerait un rôle prépondérant.
H résulte de là ([ue les ternies complémentaires 5^, r^ , ^,, f . ffi , /ij. doivent être nuls.
Ainsi la théorie de lleviz csf la seule qui soit compatible avec le principe delà consenuilion deVtdectricitè et du magnétisme e( ai'cc celui de lêi^alitc de V action et de la réaction.
coycLLSioys provisoires 6ii
