U -\- |ï(^ + vtr

a, |ii, V, désignant les cosinus directeurs de la normale. Par suite, la quantité d'électricité qui traverse rf(o pendant l'unité de temps est

DÉPLACEMEST DE LÉLECTIIICITÉ DAi\S LES CELLULES Sg

et la quantité qui traverse la surface fermée pendant le même temps est égale à Tintégrale

étendue à tous les éléments de celte surface. Pendant un intervalle de temps dty la quantité d'électricité traversant la surface fermée est le produit de l'intégrale précédente par d(. En intégrant par rapport au temps, on aura la quantité d'électricité traversant la surface pondant un temps quelconque, et, comme cette quantité est nulle, l'intégrale obtenue doit être égale a o. Si nous remarquons que u^ r, w sont les dérivées par rapport au temps des composantes /*, g, h du déplacement, nous avons pour celte intégrale

(9) J(a/-+3.' + vA)rfa, = o.

Or, on sait que

fc,f<t.>^J -^d,,

la première intégrale étant étendue l\ une surface fermée, la seconde, au volume limité par cette surface. En transformant de la même manière les deux autres termes de l'intégrale (9), nous obtenons

df ^ ,/- , d/i

d,v dy

Cette égalité devant être satisfaite quel que soit le volume considéré, nous en concluons

df dLr dh

dx dy dz

C'est bien la relation qui, dans la théorie de Maxwell, lie entre elles les dérivées des composantes du déplacement du fluide inducteur d'un milieu diélectrique.

6o riIKORIE DES DIÉLECTRIQUES DE POISSON

71. Identité des expressions de Vènergie potentielle. — Montrons enfin ([ue la théorie des cellules conduit à la même expression de Ténergie potentielle que la théorie de Maxwell.

On sait que Ténergie potentielle d'un système de conducteurs électrisés est égale à la demi-somme des produits de la charge de chaque conducteur par sou potentiel. Les charges des surfaces en regard de deux cellules contigu^^s sont égales et de signes contraires; par suite, si i, et i, sont les potentiels de ces cellules, le terme fourni à l'énergie potentielle par ces charges est

D'ailleurs si C est la capacité du conclensateui' formé par les surfaces considérées, on a

et le terme précédent devient

Kn dévehippant Ay par rapport aux puissances croissantes de A.r, A//, Ar, et en négligeant les puissances de ces quantités supérieures à la première, nous obtenons

(Il . d'i . d'l>

(Considérons donc un élément de volume d'z assez petit pour que nous puissions admettre que les dérivées partielles de i ont la même valeur en tout point de cet élément, mais assez grand toulefols pour contenir un très grand nombre de cellules, et par consé(juent, un très grand nombre de condensateurs.

I/énergie potentielle r/\V de cet élément, sera la somme des énergies potentielles des divers petits condensateurs qui y sont contenus, on aura donc :

d'i . rt? . di, ,

dx du ^ dz

'1 \dz I L^ dx dij ^^

ÉWERGIE POrE,\TIELLE DJyS LA THÉORIE DES CELLULES 6i

Maïs nous avons fait remarquer à propos des phénomènes calorifiques que clans le cas d'un milieu isotrope, les sommes

VcAxAy, VcAyAr, VcArA^r

sont nulles. Nous avons posé

^CIjc^ SCA//^ SCAc=*

d'z (Il ch

Par conséquent, nous aurons pour l'énergie potentielle de l'élément rfT,

Si nous remplaçons dans cette expression les dérivées partielles par leurs valeurs tirées de la relation (8) du n** 6i),

d'I^ (Lv

et des relations analogues qui contiennent i' et h, et si nous don-

nous h A la valeur -j — que nous avons été conduits h lui attribuer

pour faire concorder la théorie des cellules et de celle de Maxwell, nous obtenons

L'énergie potentielle du volume fini sera donnée par l'intégrale

^v= / ^ir-h8'-hf'')d^.

Cette expression est identique a celle que nous avons déduite 3 32) de la théorie de Maxwell et, comme dans cette dernière théorie, Ténergie potentielle d'un système électrisé se trouve dans le milieu diélectrique qui sépare les conducteurs.

♦i'i THÉORIE DES DIÉLECmiQVES DE POISSOS

72. RKMAUQn:. — Dans les calculs prcccdcnts, nous avons admis (ju'cn chaque point du diélectrique, la force électrique ne dépend que de Tétat électrostatique du système électrisé. S'il en était autrement, si, j)ar exemple*, outre la force électromotrice ducaux actions électrostati<jues, s'exerçait une force électromotrice d'induction, les formules auxquelles nous sommes parvenus devraient «^tre modifiées.

Va\ particulier, la composante /*du déplacement ne serait plus donnée par la formule

iiiiiis par lu roriiiiilo

/•--J:L('i•îi x^

où X désij^ne la composante suivant Taxe des .r de la force électromotrice d'induction.

l*our le monlier, cherchons la variation Ay du potentiel quand on passe du centre de gravité G, d'une cellule au centre de gravité (/ d'une cellule continue. Mlle est éfrjilo -à la variation brus- (jue II (pli se produit cpiand on traverse la paroi isolante, augmentée du travail qu'il faut elIVctuer à l'encontre des forces d'induction pour laire passer l'unité d'électricité positive de Gj à G^. Si donc — X, — Y, — / sont les comj>osantes de la force électronnitriee d induction ([uand on passe de G, à (i^, on a pour A6,

A| ^11 4- XAr + YA/z-f- 7Az.

La charj^r* électrique (j diin de nos petits condensateurs sera éjriilf' nu produit de la capacité de ce condensateur, par la dilVérence de potentiel II de ses deux armai un's ; il viendra donc :

y.^CH-- — GAv + CiXAr-f- YA//+/A3) et, au lieu d'avoir simplement