CHAPITRE Vil

ELECTROMAGNETISME

105. Lois fondamentales. — Plusieurs modes d'exposition peuvent être adoptés pour trouver l'action exercée par un courant fermé sur un pôle magnétique et montrer que cette action peut être assimilée b celle d'un feuillet magnétique de même contour. Nous ne suivrons pas celui de Maxwell qui prend comme point de départ Téquivalence d'un courant infiniment petit et d'un aimant ; nous nous appuierons, pour arriver aux formules de Maxwell, sur trois lois démontrées par Texpérience et sur une hypothèse.

Les trois lois expérimentales sont les suivantes :

i*' Deux courants parallèles de même intensité et de sens inverses exercent sur un pôle magnétique des actions égales et de signes contraires ;

î4** Un courant sinueux exerce une action égale à celle d'un courant rectiligne qui aurait les mêmes extrémités ;

3° La force exercée par un courant sur un pôle magnétique est proportionnelle à Tintensité du courant, c'est-à-dire à la quantité d'électricité qui traverse une section du conducteur pendant l'unité de temps.

Les deux premières de ces lois ont été démontrées par Ampère ; la troisième a été vérifiée par de nombreuses expériences : les unes efiectuées en déchargeant des batteries chargées de quantités d'électricité connues, comme dans les expériences de Colladon et de Faraday; les autres plus précises, faites avec le voltamètre.

1Q6. Hypothèse. — L'hypothèse que nous joindrons aux lois précédentes, est que les composantes de la force agissant sur

96 KLECTROilAGSÉriSME

un pille magnélique sont les dérivées pnrtîelles d'une même foiiclion qui ne dépend que de la position du pôle par rapport uu eircuit.

Celle hypothèse puruîtru la plus naturelle si Ton songe qu'il doit y avoir conservation de l'énergie dans le système. Mais faisons observer que ce n'est pas In seule qui soit compatible uvec le principe de la conservation de l'énergie; l'hypothèse adoptée pourrait donc se trouver en défaut sans que le principe de la conservation de l'énergie cesse d'ôtre vérïiié.

D'après celte hypothèse nous pouvons poser pour les valeurs a, p, Y des composantes de la force agissant sur l'unité du pôle

du

Lu fonction 11 est appelée le potentiel du circuit parcouru par le courant. Pour en trouver l'expression nous aurons recours îi quelques théorèmes que nous allons ctuhlir tout d'aiiord. Nous

négligerons d'ailleurs, pour plus de eommodil;;' , la constante d'intégration de la l'onction il.

lOT. TmioniiME I. — Le potentiel dii à un cùvnilesl égal à la somme des potentiels dus aux divers circuits suivant lesquels on peut le décomposer.

Cette propriété déconte immédiatement de la loi fondanicnlnlc des actions exercées par deux courants parallèles cl de sens inverses.

Kn cITel, soit ABCD (fig. li] un courant fermé; nous pouvons le décomposer en deux circuits ABCA et .\CDA parcourus dans le sens des (lèches. Le circuit AG étant parcouru par deux courants de même intensité maïs de sens inverse n'exerce aucune action sur un :ouséquent le potentiel du circuit total ne des potentiels des deux circuits par-

par <

pôle niagnctiqui

doit être égal à la son

liels ABCA et ACDA.

La généralisation de ce Ihéurèmc à un circuits partiels est évidente.

inhrc quelconque de

LOIS FOXDÂMESTALES 97

108- Théobème h. — Le /Mlcntiel d'itn fircnil fermé plan en un point extérieur situé dans son plan est nul.

a. Supposons d'abord que le circuit possède un axe de symctiie OA (fig. i4), et plaçons un pôle mngnéttque en un point quelconque O de cet axe. Si nous faisons tourner le circuit autour de son axe de symétrie, le pôle magnétique conserve toujours la même position par rapport au circuit et, par conséquent, le potentiel en O ne varie pas. Mais quand le circuit a tourne d'un angle de 180", il revient dans son plan primitif et le sens du courant représenté dans la position initiale par les llèches de la figure i4, est, après cette rotation, représenté par

les flèches de la figure i5. Le courant a donc changé de sens par rapport au point 0, et d'après la loi des courants de sens inverses, la force qui s'exerce sur le pôle a changé de sens. De ce changement dans le sens de la force résulte un changcnieiit dans le signe du potentiel Q ; comme d'autre part ce potentiel doit conserver la même valeur il doit être nul.

II. Si le circuit a la forme dun rectangle curviligne BCDE (fig. 16), formé par les arcs de cercle BC et DK cl par les portions BD et CK des rayons BO et CO le potentiel en O est nul puisque ce point appartient à l'axe de symétrie OA de la figure.

c. Quand le circuit fermé se compose d'une série d'arcs de cercles concentriques AB, ('D, .. (lig. i-J, réunis par des portions recliligncs CD.DIC,... passant par le centre commun 0, le poten-

tiel en ce point est évidi d'après le théorème I.

(/. Passons enfin au cas quelconque (fig. i8;. l'reno sins A, B, C,... et par ces cercle ayant pour centre u cuit, V.n menant par 0 ui meut choisis, nous pourr dont les divers élén PoiM^ARf:. Eli^clrid

nt nul, d'après ce qui précède et

néral d'un circuit plan de forme ns sur le circuit des points très voii points faisons passer des arcs lie point quelconque 0 du plan du cirnomhre égal de rayons convenable- Lirruns former un circuit fermé abh'a-'... its sont très rapprochés des éléments du

ELECTROMA GXETISME

circuit donné. D'après le principe des courants sinueux, rnction de ces deux circuits sur un pôle magnétique est la même. Or, nous venons de voir que le potentiel en O dû au courant sinueux

Fig. '7.

Fig. 18.

composé d'arcs de cercles concentriques et déportions rectilignes dirigées vers le centre est nul. Par suite il en est de même pour un circuit de forme quelconque.

109. Théohkme III. — Quand un circuit fermé est tracé sur la surface latérale d'un cdney de telle manière que chacune des génératrices du cône rencontre le circuit un nombre pair de fois ^ zéro j)ouK'ant ctre un de ces nomhresy le potentiel au sommet du cône y stfpposc non enveloppé par le circuit, est nul.

En edet, en traçant sur la surface du cône (fig. ly) des génératrices infiniment voisines, nous pouvons décomposer le circuit en éléments plans tels que ACDBA. I.e point O étant situé dans les

LOIS FONDAMESTALES

plans de chacun de ces circuits partiels le potentiel en ce point dû à Tun quelconque d'entre eux est nul; la somme de ces potentiels, c'est-à-dire le potentiel dîi au circuit total, est donc nulle.

110. THÉoniiME IV. — Quand deux circuits fermés^ tracés sur la surface latérale dUin cône et coupant toutes les génératrices au moins une foisy sont parcourus par des courants de même intensité et de même sens par rapport à un observateur placé au sommet du cône le potentiel en ce point a la même valeur pour chacun des circuits.

Soient ACR et BDF (fig. 'ao) les deux circuits parcourus par

des courants dont le sens est indiqué par les lièches placées extérieurement. Si nous supposons ces circuits parcourus en môme temps par des courants égaux en intensité mais dont le sens, indiqué par les lièches intérieures, est contraire à celui du courant réel qui les traverse, le potentiel en O du à l'ensemble de ces quatre courants est évidemment nul. Il sera encore nul si nous ajoutons à ces courants des courants de même intensité mais de sens dillérenls parcourant deux génératrices quelconcjues du cône, AB et CD. Mais l'intensité étant la même pour tous les courants, nous pouvons considérer le système comme formé :

i"* Du circuit fermé A(^DB parcouru dans le sens indiqué par Tordre des lettres; 2** du circuit fermé ABFDCKA; 3° du circuit BDF ; 4*^ du circuit ARC. Le potentiel en O du à chacun des deux premiers circuits est nul, car chacun d'eux satisfait aux conditions du théorème précédent. Le potentiel dû à l'ensemble du troisième et du quatrième ^ârcuit est donc nul et par consé-

I oo ELECTROMA OSETISME

queiit le potentiel résultant du circuit BDF parcoïiru par le courant réel est égal et de signe contraire au potentiel résultant du circuit AKC parcouru par le courant (ictiT de sens contraire au courant réel qui traverse ce circuit. Le potentiel du courant réel traversant le circuit ACE est égal et de signe contraire au potentiel du courant fictif ([ui parcourt ce môme circuit en sens inverse ; il est donc égal au potentiel du courant réel qui traverse BDF.

Faisons d'ailleurs observer que les deux circuits considérés, au lieu d*être placés sur la surface d'un même cône, comme nous Tavons supposé, pourraient appartenir à deux cônes distincts mais superposables.

111. Potentiel d'un courant fermé. — Prenons un circuit fermé quelconque parcouru par un courant, et cherchons le potentiel en un point O extérieur au circuit.

Du point O comme sommet traçons un cône s'appuyant sur le contour du circuit. Ce cône découpera sur la surface de la sphère de rayon unité une surface dont la valeur z> mesure Tangle solide sous lequel le circuit est vu du point O. Nous pouvons décomposer ce cône en une infinité de cônes infiniment déliés de même angle solide et supposer le circuit donné décom])osé en une infinité de petits circuits fermés tracés sur la surface de ces cônes. Ces cônes de même angle solide, étant infiniment petits, peuvent être choisis superposables et le potentiel en O est le même pour chacun des circuits tracés sur la surface de l'un d'eux. Le potentiel du circuit total est la sonîiue de c<*s potentiels; il est donc proporlionuel au nombre des cônes élémentaires et, par suite, ii Taiitrle solide v.

Mais, d'après la tioisième loi fondamentale ([ue nous avons énoncée, l'action exercée par un courant fermé sur un pôle d'aimant est proportionnelle à l'intcMisité de ce courant; par conséquertt, en négligeant la constante d'intégration dans l'expression de la fonction potentielle, c(»tte fonction doit également être proportionnelle à l'intensité du courant. Nous pouvons donc écrire

12 = '^i\ l'intensité étant mesurée au moyen d'une unité telle que le coef-

CAS D'i\\ CIRCUIT jynyjMEyT petit ioi

ficient de proportionnalité soît égal à i, unité que Ton appelle unilé èlectro-magnètùiue d*intensilé.

L'action d'un circuit sur un pôle magnétique changeant de signe quand on change le sens du courant qui le traverse, le signe de ©£ doit dépendre du sens du courant. Appelant face positive du circuit celle qui se trouve à gauche d'un observateur placé sur le circuit dans le sens du courant et tourné vers l'intérieur du circuit, on convient de donner à la valeur de l'angle solide le signe -f- ou le signe — suivant que c'est la face positive ou la face opposée qui est vue du point considéré. En adoptant cette convention et celle qui consiste à regarder comme positive une force attractive et comme négative une force répulsive, les composantes de la force exercée par un courant fermé sur l'unilé de pôle sont données par les relations déjà écrites :

dx^ ' dy^ dz '

112. Cas d'un circuit inûniment petit. — Soient AA' (fig. 21 ) la projection d'un circuit infiniment petit et AOA' le cône élémen-

Fij?. 21.

taire d'angle solide dz> passant par ce circuit. Le potentiel au point O a pour valeur

du ^^ idzi.

Or, d'^ étant Taire de la section BB' découpée par le cône sur la sphère de rayon i, l'aire de la section AA'' découpée par ce même cône sur la sphère de rayon OA = /•, est r^d-f. D'ailleurs en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur, on peut considérer cette aire AA" comme la projection de l'aire dio du circuit AA' sur un plan perpendiculaire à OA. Nous avons donc

r^d'^ = dio cos £,

I o:i KLEC TROMA GSKTISME

et par suite

Cette expression est unalogiie ii la Tormule

['?) dil =

que nous avons trouvée ^97) pour le potentiel d'un élément de feuillet magnétique de puissance <^. Par suite un élément de courant fermé a le même potentiel qu'un élément de feuillet de même surface et de puissance égale ii l'intensité du courant.

113. Équivalence d'un courant fermé et d'un feuillet magnétique. — Les intégrales des formules ^ i ) et [i] étendues à une même surface donneront, la première le potentiel d'un courant fermé de forme quelcon([ue, la seconde, le potentiel d'un feuillet de même contour. Si on suppose <l> = /", ces intégrales ont la même valeur, à un(^ constante près. Par consé([uent les composantes a, fi, Y de la force exercée par un courant fermé sur l'unité de masse magnétique sont égales à celles de la force ([n'exercerait une feuillet magnétique de même contour et dont la puissance <I> serait égale à l'intensité électromagnétique / du courant. Il y a donc étjuivalence dans les effets d'un courant fermé et d'un feuillet magnéti(|ue.

11 y a cependant lieu de l'aire remarcjuer (pie les fonctions potenli(*lles ne jouissent pas de propriétés identi([ues dans les deux cas. Montrons qu'en (^llet le potentiel d'un aimant est une fonction uniforme, tandis (|ue le p()tenli(»l (rnn courant f<»rmé peut prendre en clia(|ue point de l'espace unt* inlinité de valeurs.

La variation du potentiel d'un courant ou d'un feuillet (piand on passe d'un point à un autre par un chemin ([uelcon(|ue est égale et de signe contraire» à l'intégrale

I %d.r + 'idij + -^dz

prise le long du chemin parcouru puisque a, [i, •; sont les dérivéespartielles du potentiel changées de signe.

TRAVAIL DES FORCES ELECTROMAGyÉJlQlES

Les conditions d'intégrabilité

di/ dx '

rf^y

étant remplies, rintégrale prise le long d'une conrhe fermée C quelconque sera nulle; il y a toutefois à cela une condition.

Par cette courbe C faisons passer une surface quelconque et soit A la portion de cette surface qui est limitée par la courbe fermée C. Pour que Tintégrale soit nulle, il faut que les forces a, P; V et leurs dérivées premières soient finies en tous les points de Taire A.

Mais si la courbe fermée enlace le courant, ce courant viendra certainement couper Taire A au moins en un point, et au point de rencontre les forces magnéti(|ues a, [i,*;' seront infinies. I/intégrale prise le long d'une courbe fermée enlaçant le courant n'est donc pas nulle et la fonction 12 peut prendre en un même point deux valeurs différentes.

114. Travail des forces électromagnétiques suivant une courbe fermée enlaçant le circuit. — La diflerence entre ces deux valeurs, qui est égale à Tinlégrale.

a,/.r + "icif/ + -nh

prise le long de la courbe décrite il, représente le travail de la

force électromagnétique dans le

déplacement. Pour avoir ce Ira-

vailyConsidéronsle feuillet 1" Jig. :>-•>-

équivalent au courant. Le pof(Mitiel

de ce feuillet étant une fonction

uniforme devra reprendre la im^me

valeur quand on reviendra au point

P' après avoir parcouru la courbe

fermée (1. Or la variation subie par le potentiel est éi^ale à Tintégrale.

prise le long de la courbe C, plus hi variation brusque que subit

io4

ELECTROMA GSETISME

le potentiel quand on traverse le feiiîilet en allant de P' au point infiniment voisin P. Soit H cette variation; on aura donc :

H -h Ç[7.dx -f '^(lij + v^/c) = o.

11 nous reste donc à calculer cette variation brusque II.

Nous avons facilement celte variation dans le cas particulier où le feuillet forme une surface fermée. Mn un point extérieur le potentiel est nul puisque Tangle sous lequel le feuillet est vu de ce point est nul. En un point intérieur il est it 4^4>, suivant que c'est la face positive du feuillet ou sa face négative qui est tournée vers rintérieur de la surface fermée. La variation du potentiel quand on passe de la fac*:- négative à un point de la face positive est donc 4^^-

Dans le cas où le feuillet ne forme pas une surface fermée la variation du potentiel est encore la même. Soit en effet ABC

(fig. 23) un feuillet dont nous supposerons la face positive, située du côté convexe. Au moyen d'un second feuillet ADC de même contour et de même puissance que le premier et dont la face positive est également tournée du côté convexe, nous pouvons former un feuillet fermé ABCD.

Quand on passe du point P en un point P' inliiiimeut voisin et situé de l'autre coté du feuillet l'angle sous lequel on voit ce feuillet fermé augmente de 4^- Comme l'angle sous le({uel est vu le feuillet ADC reste le même, Tangle solide correspondant à l'autre feuillet AB(] doit augmenter de 4'î^- Par suite la variation du potentiel est encore 4^^*-

Si dans la figure 22 nous supposons (jue la face négative du feuillet équivalent au courant est du côté du point P, le potentiel augmentera de ^tù ([uand on passera de P en P' et, d'après ce que nous avons dit, le travail de la force électromagnétique srra — 4~' 4"«*ï^d un pôle unité décrira la courbe fermée PCP'P dans le sens indiqué par l'ordn* des lettres c'est-à-dire en pénétrant dans le feuillet par sa face positive. Nous pouvons donc

Fijj^. 'ÏS.

CAS DE PLUSn:VRS COUR A y TS io5

écrire quand Tintegralo est prise le long d'une courbe fermée.

I ndx -\- ^îidtj + "jv/r = ±: ^':zi

le second membre étant pris avec le signe + quand le contour d'intégration enlace le circuit en pénétrant par sa face négative et avec le signe — dans le cas contraire.

Faisons observer que le contour d'intégration peut enlacer plusieurs fois le circuit ; alors le travail électromagnétique est égal à autant de fois — \tù qu'il y a d'enlacements. *

115. Cas de plusieurs courants. — S'il y a plusieurs courants la force exercée sur l'unité de pôle placée en un point de l'espace est égale à la résultante des forces exercées par chacun d'eux, et le travail électromagnéticjue, quand le pôle décrit une courbe fermée, est égal à la somme des travaux des composantes, c'està-dire à - ^ 4 ^'> '«^ sommation s'étendant ii tous les courants enlacés par la courbe. On a donc

( I ) JoLdv + .'ir/yy + y,/, ^4:^1'^/.

Cette relation peut d'ailleurs être interprétée autrement. Kn efi'et si nous considérons une surface S passant par la courbe C, tous les courants pour lesquels l'intensité est prise dans la formule (i) avec le même signe, le signe -|- par exemple, traversent cette surface dans le môme sens ; les courants pour lesquels l'intensité est prise avec le signe — traversent au contraire la surface en sens inverse. L'intensité d'un courant étant la quantité d'électricité qui traverse une section du circuit pendant l'unité de temps, nous pouvons considérer il it / comme égale à la quantité d'électricité qui traverse dans un certain sens la surface S pendant l'unité de temps. Par conséquent, le travail électromagnétique, quand on se déplace sur une courbe fermée C enlaçant plusieurs circuits, est égal au produit par 4~ ^^^ 'î* quantité d'électricité qui traverse pendant l'unité de tenips une surface S limitée à la courbe C.

io6 ÉLECTROMAGyÉTlSME

116. Nouvelle expression du travail électromagnétique suivant une courbe fermée. — Si nous désignons par //, f, tv, les composantes de la vitesse de Téleetricité dans un des circuits, par lid) la section de ce circuit par la surface S et enfin par/, m, n les cosinus directeurs de la normale à cet élément prise dans une direction convenable, nous aurons pour la quantité d'électricité qui traverse la surface S :

S I = S [In -\- msf + mv) r/to.

Mais nous pouvons remplacer le signe 2 du second membre par

le signe / et étendre l'intégration à toute la surface S, les élé-

ments de cette surface non traversés par un courant donnant dans rintégrale des éléments nuls. Par conséquent, la formule (i) peut s'écrire

('>-) I 7.(1,1' + ^^dy -[- "(dz == 4?: I [lu-\-in^^-\-mv) dio,

la première intégrale étant prise le long de la courbe C, la seconde étant étendue à la surface S.

117. Transformation de l'intégrale curviligne, — Xous pouvons transformer l'intégrale curviligne du premier membre. Dans le cas où la courbe C est plane cette transformation est très facile. Kn eflet, si nous prenons le plan de cette courbe pour plan des .r//, l'intégrale considérée se réduit à

où a et [i sont des fonctions continues et uniformes des coordonnées .r et //. Or, on sait que dans ces conditions la valeur de rintégrale précédente, quand le contour d'intégration est décrit de telle sorte que Tespace illimité se trouve à gauche, est égale à celle de lintécfrale

/fê-^)-'."

étendue à Taire plane limitée par la cour})e C

TRANSFORMATIOy DE LlSTÉGRALE ClRVILICyE

Effectuons une transformation du même genre dans le cas où rintégrale curviligne est prise le long d'un contour triangulaire ABC dont les sommets sont situés sur les axes de coordonnées (fig. 24)- Nous pouvons obtenir la valeur de Tintégrale en prenant successivement pour contours d'intégration OAB, OBC, OCA et additionnant les trois résultats obtenus, puisqu'en opérant ainsi chacune des droites OA, OB, OC est prise deux fois en sens inverses et que les côtés du triangle sont parcourus dans le sens ABC. Nous avons donc

Finr. ^4.