OCA
*'OAB
OU, en transformant les intégrales curvilignes du second membre pour lesquelles le contour d'intégration est dans un des plans de coordonnées,
^((ou/.r+ ?./,+,./.)-= / (;;^-^)./../.
/ //a (h\ \ dz dxl
dz dx H-
Supposons le tétraèdre OABC infiniment petit et désignons par r/oi Taire du triangle ABC et par /, /«, n les cosinus directeurs de la normale au plan de ce triangle. Nous avons pour les projections du triangle sur les plans de coordonnées.
OBC = Wo>, OCA = /;i^/o), OAB =/?r/to.
1 o8 ÉLEC TROMA GSÉ TISME
Les iiitt'grales du second membre de régalitc précédente devant élrc étendues à Tune de ces surfaces infiniment petites, les quantités placées sous le signe d'intégration conservent très sensiblement la même valeur et peuvent être placées en dehors du signe d'intégration ; nous .avons donc pour la valeur de Fintégrale curviligne prise le long d'un contour triangulaire infiniment petit,
Ht^ -T7?) '''•' + '" [77- ,7j)'''"^+" U-7^)'''^-
Si rintégrale curviligne doit être prise le long d'une courbe ({uelcon({ue C limitant une surface finie, nous pouvons toujours décomposer cette surface en éléments triangulaires infiniment petits et obtenir l'intégrale curviligne en faisant la somme des intégrales prises le long des contours triangulaires limitant ces éléments ; par conséquent, puis([ue chaque intégrale triangulaire est donnée par l'égalité précédente, nous avons pour l'intégrale curviligne prise le long du contour (),
Je
l'intégrale du second membre étant étendue à l'aire limitée par la courbe C.
118. Relations de Maxwell, — Remplaçons dans l'équation (2) l'intégrale curviligne par la valeur ([ue nous venons de trouver, nous obtenons
ACTIOS D'Uy POLE SUR L\\ ELEMEST DE COL'IiAy'f 109
Cette égalité devant avoir lieu quelle que soit la surface d'intégration et par conséquent quels que soient /, //i, /i, il vient
rf3
\dy
Kdz
fd^^
dz
dx d%
!\T. \ dx d]i
Ces formules, établies par Maxwell, lient les composantes u^ r, w de rintensité du courant aux composantes a, |i, y de la force électromagnétique. Faisons observer qu'elles s'applicpient aux courants de déplacement aussi bien qu'aux courants de conduction, les courants de déplacement étant supposés obéir aux lois d'Ampère.
119. Action d'un pôle sur un élément de courant. — Puisque dans la tbéorie de Maxwel tout courant est un courant fermé, l'assimilation d'un courant fermé à un feuillet magnétique permet de déterminer l'action exercée par un système quelconque de courants sur un système d'aimants. Par l'application du principe de Tégalilé de Taclion et de la réaction on en déduit immédiatement l'action qu'exerce un système d'aimants sur un système de courants. Le problème de la détermination des actions réciproques qui ont lieu entre les courants et les aimants se trouve donc complètement résolu. Mais nous pouvons envisager l'action exercée par un pôle d'aimant sur un courant fermé comme la résultante des actions exercées par le pôle sur les différents éléments du circuit parcouru par le courant. Xous sommes donc conduits à chercher l'expression de ces actions élémentaires.
120. — Considérons le système formé par un pôle d'aimant égal à l'unité et un circuit parcouru par un courant d'intensité 1. Si '^ est l'angle solide sous lequel le circuit est vu du point P où se trouve placé le pôle, les composanles de la force qu'exerce le courant sur ce pôle sont
drs d'^ d'z> I ____ é I
dx ' dy ' dz
IIO
KLECTROMA GSETISME
Les composantes de la force exercée par le pôle sur le courant étant égales et de signes contraires à ces quantités, le travail de cette force pour un déplacement infiniment petit du circuit sera
rf'^, c'est-à-dire la variation de Tangle solide sous lequel le circuit est vu du point P.
Cela posé prenons un circuit AMB dont un élément AB (Kg. 25) peut se mouvoir suivant sa propre direction. Si nous donnons à AB un déplacement suivant cette direction Tanglc solide sous lequel le circuit est vu du point P ne varie pas. Le travail <le la force électromagnétique dans ce déplacement est donc nul et par suite cette force n'a pas de composante suivant AB : l'civdon élémentaire est normale à l'élément.
121. — Pour avoir Texprcssion de cette force et déterminer complètement sa direction, évaluons de deux manières différentes le travail qu'elle accomplit quand l'élément AB du circuit AMB (fig. 26) passe de la position AB à la position AB'. Il faut supposer qu'il y a un lil métallique, dirigé suivant BB' et son prolongement, et sur lequel la partie mobile AB du circuit glisse en s'appuyanl constamment.
(a* travail est éijal il Taiii^le solide dz SOUS le([uel le triangle ABB' est vu du pôle P. Les dimensions de ce triangle étant infiniment petites par rapport aux longueurs des droites PA, PB, PB', nous pouvons regarder ces droites comme égales entre elles ; autrement dit nous pouvons confondre la surface du triangle avec la surface découpé*? dans la sj)hère de rayon PA= r par Tangle trièdre P. La surface du triangle ABB' est donc r'rf^ et le volume du tétraèdre PABB'est
Mais on peut évaUnM' le volume de ce tétraèdre d'une autre
ACTIOy D'Cy POLE SUB l'y ÉLEMEyT DE COlRAyT m
manière en prenant pour base le triangle PAB. Si nous désignons par P l'angle BPA sous lequel rélénient de courant est vu du point P et par h la projection de BB' sur une normale au plan PAB nous avons pour le volume du tétraèdre
et en égalant les deux expressions trouvées pour ce volume,
Tel est le travail de la force /'qui s'exerce sur l'élément AB.
Nous en aurons une autre expression en écrivant qu'il est égal au produit de la force par la projection, sur la direction de la force, du chemin parcouru par le point d'application. Si nous admettons que la force est appliquée au milieu C de l'élément, le chemin décrit par le point d'application est CC, qui est la moitié de BB'. En appelant // la projection de BB' sur la direction de la force f, le travail de cette force est
et, puisqu'il est déjà donné par la relation (i), nous avons
. . P Cette égalité est satisiaile si li = W et si / == — ; mais
h = II' exprime que la force est normale au plan PAB. Par conséquent la force exercée par un pôle (V aimant sur un élément de courant est normale au plan passant par le pôle et par Vêlément. Sa valeur pour un pôle magnétique de masse m et pour une intensité / du courant traversant l'élément est
.. miV
Comme l'angle P dépend de /• et varie en raison inverse de cette quantité, l'action élémentaire /'varie en raison inverse du carré de la distance du pôle à l'élément.
