CHAPITRE Mil

KLECTRODYxXAMIOUK

122. Travail électrodynamique. — Nous admettrons que deux circuits parcourus par des courants d'intensité /et i' étant en présence, le travail des forces agissant sur Tun d'eux, lorsqu'il se déplace par rapport à l'autre, est donné par un certain potentîel T proportionnel aux intensités / et i^ et ne dépendant, quand / et i' restent constants, que de la forme et de la position relative des deux circuits. Cette hypothèse se trouve vérifiée expérimentalement par les consécjuences qui s'en déduisent.

123. Solènoïdes. — Partageons une courbe AB (fig. 27) en une infinité d'arcs égaux ab de longueur infiniment petite o et par

les milieux de ces arcs menons les plans C normaux à la courbe. Dans chacun de ces plans traçons des courbes formées égales, d'aire rfw, et contenant le point dintersectioii de leur plan avec la courbe AB. Si nous supposons chacune de ces courbes parcourues dans le même sens pardes courants de même intensité /, ce système de courants porte le nom de solcnoïde.

Chacun des courants qui composent le solénoïde est équivalent, au point de vue de l'action exercée sur un pôle d'aimant, à un feuillet magnéti([ue de même contour et de puissance /. Si nous prenons pour épaisseur de ces leuillets la longueur 0 des arcs élémentaires, les quantités de magnétisme que possède chacune de leurs faces seront + -^ dix) et ^ dto ; les faces en

contact de deux feuillets consécutifs possèdent donc des masses magnétiques égales et de signes contraires et leur ensemble n'a

SOLÉSOIDES ET COURANTS 1 1 3

aucune action sur un point extérieur. Par conséquent Taction du solénoïde se réduit à celles de deux masses magnétiques

H — 7- dtù et — -r- dis) situés aux extrémités de AB. Ce sont les

pâles du solénoïde.

Si la courbe AB est limitée, le solénoïde a deux pôles égaux et de noms contraires ; si la courbe AB a une de ses extrémités à rinfini le pôle correspondant du solénoïde est rejeté à rinfinl et Faction du solénoïde se réduit à celle de Tautre pôle ; enfin si la courbe AB est fermée le solénoïde n'a plus de pôles.

124. Solénoïdes et courants, — L'expérience montre que Faction d'un solénoïde fermé sur un courant est nulle. De ce fait expérimental il est facile de déduire que l'action d'un solénoïde ouvert ne dépend que de la position de ses pôles.

Soient T le potentiel relatif à l'action exercée par un solénoïde A(]B (fig. 28) sur un courant se déplaçant dans son voisinage et T' le potentiel relatif à l'action d'un second solénoïde BDA choisi de manière à former avec le premier un solénoïde fermé; nous aurons pour le potentiel de l'ensemble de ces deux solénoïdes

Cette égalité est satisfaite tant que le solénoïde ACBDA reste fermé, quelles que soient les déformations que nous fassions subir aux portions qui le composent. SI en particulier nous ne déformons que le solénoïde ACB le potentiel de BDA conserve la même valeur T' et, à cause de l'égalité précédente, T ne varie pas. Le potentiel d'un solénoïde ACB conserve donc la même valeur quand ses pôles A et B restent dans les mûmes positions ; en d'autres termes le potentiel ne dépend que de la position des pôles du solénoïde.

125. — Le raisonnement précédent subsiste encore lorsque l'un des pôles, B par exemple, du solénoïde ACB est rejeté à rinlinl, car II suflit pour obtenir un solénoïde fermé d'y adjoindre

PoiitCARÉ. Electricité et Optique. 8

Ii4 ELECTRODYNAiltQUE

un second aoléiioïde dont le pôle de nom contraire a B est également rejetc ù l'inlini. Mais dans ces conditions l'action du solé- □ oïde ACB se réduit ù celle du pôle A; le potentiel d'un pôle de solénoïde dépend donc uniquement de sa position par rapport aux courants qui agissent sur lui.

126. — Faisons observer qu'au début de l'ëlectro magnétisme nous avons udmis que le potentiel d'un pâle magnétique soumis il l'action de courants fermés ne dépendait que de la position du pôle par rapports aux courants ; et c'est sur cette seule hypothèse qu'ont reposé tous nos raisonnements. Puisqu'il en est de même pour le potentiel d'un pôle de solénoïde soumis à l'action de courants fermés, nous dènionlrerions de la même manière que dans ce nouveau cas le potentiel est encore de lu mfme forme. Le potentiel électrodynnmique d'un pôle de soléno'fdc sera donc proportionnel ii l'anyle solide y sous lequel on voit de ce pôle les faces positives des courants qui agissent sur lui, et à la masse mafrnétique ± — ; — équivalente au pôle du solénoïde dans les actions électromagnétiques. Comme d'autre part nous avons admis (121) que le potentiel d'un courant qui se déplace en présence d'un autre courant d'intensité i' est proportionnel à i' nous aurons pour le potentiel d'un pôle de solénoïde soumis it l'iiction d'un seul courant

Des expériences précises ont montré que le cocf(icieut a est égul a l'unité quand les intensités sont exprimées en unités électromagnétiques ; nous avons doue

c'est-ii-dirc que l'action électrodynamiquc qui s'exerce entre un pôle de solénoïde et un courant est égale ti l'action électromagnétique qui a lieu entre ce courant et une masse magnétique ± — ^ — dont le signe est déterminé par le sens du courant dans le pôle solcnuïdal.

POTENTIEL ÉLECTRODYSAMiqUE D'UN COURANT INFINIMENT PETIT ii5

127. — Lorsque le solénoïde a deux pôles A et B (fig. 29) on peut, sans changer son action, lui ajouter un solénoïde BC ^a s'étendant a l'infini dans une direction C et parcouru par deux courants de sens inverses d'intensité égale h celle du courant qui parcourt AB. L'ensemble de ces trois solénoïdes peut être considéré comme deux solénoïdes infinis dont l'un a son pôle en A, l'autre son pôle en B et dans lesquels circulent des courants de même intensité et de sens contraires. Ces deux pôles équivalent à deux masses magnétiques égales et de signes contraires de sorte que le solénoïde fini AB est assimilable a un aimant uniforme de même longueur.

Fig. 29.

128. Potentiel électrodynamique d'un courant inûniment petit, — Un courant infiniment petit peut être considéré comme un élément de solénoïde de longueur 0. Si donc sa surface est rfw et son intensité 1, il peut être assimilé h deux masses

magnétiques -j ^^ — et ^ — placées en A et B a une distance 0 l'une de l'autre.

Appelons Q le potentiel de l'action qu'exerce le système des courants fixes sur l'unité de magnétisme positif placée au point A (fig. 3o). Au point B, infiniment voisin de A, le potentiel sera Q -f" ^^- ^^^ conséquent le potentiel des deux masses

magnétiques qui remplacent le courant infiniment petit a pour

expression

^ zV/oj , ^ ,^, idtù -^ idw

Fig. 3o.

En désignant par x, y, z les coordonnées du point A, il vient

rfll ^ . dÇi , rfÛ ,

d\i=i—, — dX'-\ — = — dy -^ =— azy

(ix dy dz

ou encore

dÇl = — {cLdx -+- ^dy -\- ydz) ,

1 1 6 ÉLECTRODYNAMiqUE

a, p, Y étant les composantes de la force qu'exerce le système de courants fixes sur Tunité de pôle magnétique situé en A.

Si nous appelons /, /w, n les cosinus directeurs de la direction AB de la normale au plan du courant infiniment petit, les quantités rf.r, dij^ dz ont pour valeurs

dx = lOy dy = wo, dz = nOj

et l'expression de dÙ peut se mettre sous la forme

dçi = — (aZ + ^m + y/î) 8.

On a alors pour le potentiel du courant infiniment petit,

— du — ?:— = / {olI-\- ^/w + y/ï) diù,

c'est-à-dire que le potentiel d'un courant élémentaire est égal au produit de son intensité par le flux de force qui pénètre par sa face positi^*e,

129. I^otentiel électrodynamique d'un courant fermé, — Dans le cas où Ton a un système de courants fixes agissant sur un (courant fini mobile on peut décomposer le courant mobile en une infinité de courants élémentaires de même intensité et circulant dans le même sens. La potentiel du courant ainsi décomposé est égal à la somme des potentiels des courants élémentaires ; il est donc

rintégrahî étant étendue l\ toute la surface d'une aire courbe ou plane quelconque limitée par le courant mobile.

130. Autre expression du potentiel d'un courant. — L'intégrale précédente étendue à une surface peut être remplacée par une intégrale curviligne prise le long du circuit traversé par le courant. C'est la transformation inverse à celle ([ue nous avons employée au paragraphe 117. En se reportant à ce que nous avons dit à cet endroit il est facile de voir que l'intégrale

T = i^i^dx + Gr/y + IIr/r),

CAS DTy COURANT DANS UN MILIEU MAGNÉTIQUE 117

prise le long du circuit mobile, est égale k

étendue à une surface limitée par le même circuit. Si donc on veut que l'intégrale (2) représente le potentiel, donné par l!intégrale (i), d*un courant fermé, il faut qu'on ait

m clG a =

dy dz

dV dR

dz dx

dG dF

dx dy

Les quantités F, G, Il ainsi introduites sont appelées par Maxwell les composantes du moment électromagnétique (le mot moment est pris dans le sens de quantité de mou\>ement),

131. Cas d'un courant se déplaçant dans un milieu magnétique. — Jusqu'ici nous avons implicitement supposé que s'il existe des aimants en présence du courant mobile, celui-ci ne les traverse pas. Examinons le cas où le courant mobile se déplace dans un milieu magnétique.

Il peut y avoir indécision sur le choix des quantités a prendre pour les composantes a, |3, y de la force qui s'exerce sur l'unité de pôle. Nous avons vu, en efl'et, h propos des aimants, que la force qui agit sur un pôle placé h l'intérieur d'une cavité creusée dans un milieu magnétique dépendait de la forme de la cavité, et parmi les valeurs qu'elle peut prendre nous en avons considéré deux : l'une (/a force magnétique) ayant pour composantes

dx ' ^ dy ' ^ dz

1 1 8 ÉLECTRODYNA MIQUE

l'autre {V induction magnétique) de composantes

a = a + 47ïA, i=P+4TcB, c = Y+4''^C,

Q désignant le potentiel de Taimant et A, B, C les composantes de la magnétisation au point considéré.

Mais la forme des équations (3) permet de lever facilement l'indétermination et montre qu'il faut y introduire les composantes de l'induction magnétique. En effet, en prenant les dérivées des deux membres de chacune d'elles respectivement par rapport a x^ y, r, on obtient

dx dy dz

Or nous avons vu que cette condition n'est pas satisfaite par les composantes de la force magnétique dans le cas d'un point intérieur aux masses magnétiques tandis qu'elle l'est toujours pour les composantes de l'induction. C'est donc ces dernières qu'il faut introduire dans les formules ; celles-ci deviennent

d\\ dG

dy

dz

dF

dH

dz

dx

dG

dF

(4) [l'=iT-

dx dy

132. — Une Indétermination du même genre a eu lieu pour les formules du paragraphe ii8 qui donnent les composantes m, s>y iv, de la vitesse d'un courant en fonction de a, p, y, mais il est facile de hi lever en montrant que dans ce cas on ne doit pas prendre les composantes de l'induction.

En effet, plaçons-nous dans le cas particulier où le circuit mobile n'est traversé par aucun courant ; nous aurons alors M = (^ = ^v =o. SI donc on prenait les composantes de l'induction Il viendrait

de db da de dh da

dy dz ' dz dx ' dx dy '

COMPOSANTES DU MOMENT ÉLECTROMAGNÉTiqUE 119

cooditions qui ne sont pas satisfaites eu général. Nous ne pouvons donc prendre les composantes de Tinduction et nous devons conserver les composantes a, ^, y de la force magnétique. Nous nous contenterons de ce double aperçu, en Tabsence d'une théorie plus satisfaisante.

133. Déterminations des composantes du moment électromagnétique. — Abandonnons le cas où le courant mobile se meut dans un milieu magnétique et cherchons les composantes Fj G, II du moment magnétique.

Les trois équations dinerentielles (3) ne suffisent pas pour déterminer ces quantités, car il est facile de voir que si F, G, IL est une solution de ces équations, le groupe de valeurs

as (ly dz

où /est une fonction quelconque des coordonnées, est également une solution du système. En eflct, le second membre de la première des équations devient quand on substitue à F, G, H les valeurs précédentes,

<< /„ , 'l-/.\ <l Ir- , ''7.\ ''!■ , ''■7. . '«••

dy \ dz ] dz \ dy ] dy dydz dz

d-f d\\ dO^ dydz dy dz

et le dernier membre de celte suite d'égalités est égal h a puisque, par hypothèse, F, G, H forment une solution du système. On verrait par un calcul semblable <[ue les deux autres équations sont également satisfaites.

134. — Pour déterminer les composantes F, G, Il nous devons donc leur imposer la condilion de satisfaire à une nouvelle équation. Maxwell prend pour cette équation de condition,

" , , dV r/G du

(^) '-lU+^^-dT-'^'

En tenant compte de cette relation il est possible de trouver

1 20 ÉLECTRODYNÀMiqiE

entre les composantes m, f, ^^* de la vitesse du courant et les composantes F, G, H du moment magnétique trois relations qui nous permettront d'obtenir les valeurs de ces dernières quantités. Nous avons, diaprés les formules du paragraphe 1 18 et les formules (3) du paragraphe i3o:

rfv rf^ d^G d'F d'V dm

dy dz dxdy dij^ dz^ dxdz

ou, en ajoutant et retranchant au second membre la quantité

d}V j ^ et groupant les termes d'une manière convenable

Ce %Â/

d'F d'G . dm d'F d'F d'F fyrM= -71 — f-

dx^ dxdy dxdz dx^ dy^ dz^

ou enfin (6) 4-=-^-AF.

Si on suppose que Téquation (5) est toujours satisfaite, c'est-àdire qu'elle est une identité, les dérivées partielles de J sont nulles et la relation (6) se réduit à

AF + ^TZU = o .

Cette équation étant analogue à l'équation de Poisson, F peut être considéré comme le potentiel d'une matière attirante de densité u. D'après ce que nous savons sur la forme du potentiel qui satisfait à une telle équation nous pouvons poser immédiatement

l'intégrale étant étendue à tous les éléments rfT de l'espace tout entier ; u est la valeur de la première composante du courant au centre de gravité de l'élément d'z et /• est la distance de cet élément au point »r, //, z.

Nous obtiendrons par des calculs analogues

COMPOSANTES DU MOMENT ÉLECTROMAGNÉTIQUE lai

Ces valeurs de F, G, H satisfont nécessairement aux équations différentielles (3) ; montrons que Téquation de condition (5) est également satisfaite et pour cela cherchons les dérivées partielles de F, G, H qui y entrent.

135. — Donnons a un point de coordonnées Xy j/,z un déplacement parallèle à Taxe des s et de grandeur dx ; la distance de ce point aux différents éléments de la matière attirante fictive de densité u croît de dr et le potentiel F au point considéré aug-

rfF mente de — ^ — dx. Mais supposons qu'au lieu de déplacer le

point attiré jr, y, z-, comme nous venons de le faire en laissant fixe la matière attirante, nous donnions aux divers points de la matière attirante, un déplacement égal a — dx, en laissant fixe le point .r, y, z; cela reviendra absolument au même. L'accroissement dr de la distance du point attiré au point attirant sera évidemment le même, si Ton donne au point attiré un déplacement quelconque, ou si c'est le point attiré qui subit un déplacement parallèle égal et de sens contraire. Cela revient à supposer que la densité u au centre de gravité de Télément devient après

le déplacement, n -\ j — dx. Nous avons donc

i— dx = I -P d-z— I -^ d-z,

la première intégrale étant étendue à tout le volume occupé par la matière attirante après le déplacement. Or ces deux champs d'intégration sont les mêmes puisque tous deux comprennent l'espace tout entier; par conséquent, nous avons simplement

d'ot

ou

laa ÉLECTRODYNAMiqUE

Nous obtiendrons des expressions analogues pour les diflPérentlelles partielles de G par rapport a ^ et de II par rapport à :; ; leur addition donne

dx dy

d\\ / I /du di> ^^^\j^

dz J ^ \ ^^^ ^y dz )

Tous les éléments de cette dernière intégrale sont nuls puisque, pour Maxwell, l'électricité est incompressible et que Téquation qui exprime cette incompressibilité est

du dsf div

djc dy dz

L'équation de condition (5) est donc satisfaite.

136. — Revenons au cas où le milieu étant magnétique, les composantes F, G, H du moment électromagnétique sont liées à celles de Tinduction par les équations (4). H est facile de s'assurer que ces équations et l'équation de condition (5) seront satisfaites si l'on prend pour F, G, H le produit des valeurs trouvées par le coefficient de perméabilité magnétique |jl du milieu ; nous avons donc

137 . Valeurs de F, G, H pour un courant linéaire. — Plaçonsnous dans le cas particulier où en présence du courant mobile il n'y a qu'un seul courant dont le circuit est formé par un fil de faible section di. L'intensité de ce dernier courant étant désignée

par if la vitesse de l'électricité est -7— et la direction de cette

ai

vitesse est celle de la tangente au circuit menée dans le sens du

courant. Les cosinus directeurs de cette tanc;entc sont — i— , — 7-,

^ ds ds

—^ (en appelant ds rélément d'arc du circuit), de sorte que l'on