FORMULE DE NEUMANN
a pour les composantes //, s>y w de la vitesse de Télectricité
i dx dv ds '
ou, puisque ddds = rfx,
idx
J dy d<7 ds '
idj/ d-. '
iV =
i dz d<7 ds
idz ■rfr"
Par conséquent la composante F du moment électromagnétique en un point de l'espace peut s'écrire
,, lu. i idx . I dx
et nous avons pour les trois composantes
\Z%. Formule de Neumann. — Soit C (fig. 3i) un circuit fixe parcouru par un courant d'intensité /, et C un circuit mobile parcouru par un courant d'intensité i\ Le potentiel électrodynamique T du courant C par rapport au courant C a pour valeur,
T = i^ f{¥dx' + Gdy' + lldz) .
Dans cette expression F, G, II sont relatives au circuit C puisque ce circuit est seul en présence du circuit mobile ; si donc nous supposons que ce circuit est formé d'un lil de faible section, F, G, II sont données par les expressions (8) trouvées précédemment et dans lesquelles /• est la distance du milieu de l'élément ds au milieu de l'élément ds' , En portant ces valeurs dans l'expression de T nous obtenons
l = ii' 11^
dx' + dydij + dzdz'
I a/i KLECTRODYSAMIQUE
et, en appelant e Tangle des deux éléments ds et rfs',
, . •p • •' ■ ■ dsds' cos e
Telle est la forme donnée par Neumann au potentiel électrodynamîque d'un courant par rapport h un autre.
La symétrie de cette formule par rapport à i et /', à ds et ds' montre que le potentiel électrodynamique de C par rapport a C est égal au potentiel électrodynamique de C par rapport il C! .
139. Nouvelle expression du potentiel électrodynamique d'un courant. — La formule
T = ij^{Fdx-\-Gdi/-\-ndz)
peut facilement se mettre sous une autre forme qui nous sera utile dans ce qui va suivre.
Des valeurs (j) établies au n° 137 on tire immédiatement
id,r = iid'Zy idy = r^T, idz = ii'rfT, et en portant ces valeurs dans l'expression de T, il vient
(lo) T -= /(F" + Gr + Hir; d-z.
l'intégrale étant étendue à l'espace occupé par la matière conductrice qui constitue le circuit mobile.
140. Potentiel électrodynamique d'un courant par rapport à lui-même. — On peut par la pensée décomposer un circuit traversé par un courant en une infinité de circuits de section infiniment petite. Chacun des courants ainsi obtenus possède par rapport aux autres un potentiel électrodynamicjue ; la somme de ces potentiels est ce (ju'on appelle le potentiel du courant par rapport à lui-même. Cherchons Texpression de ce potentiel.
Soient n, r, tv les composantes de la vitesse de l'électricité en un point du circuit, F, G, II les composantes du moment électromagnétique en ce ménip point, etT le potentiel du courant
POTENTIEL ÉLECTRODYNAMIQVE laS
par rapport il lui-même. SI nous donnons à i^, s^y tr, les accroissements duy dç, di^'y ces quantités F, G, H, et T prendront respectivement les accroissements (t/F, rfG, dH et <r/T. Le courant qui circule alors dans le circuit peut être considéré comme résultant de la superposition du courant primitif et du courant provenant de l'accroissement donné à la vitesse de l'électricité : nous appellerons ce dernier, courant supplémentaire. I/accroissement rfT du potentiel peut donc être regardé comme égal à la somme du potentiel du courant ancien par rapport au courant supplémentaire et du potentiel du courant supplémentaire par rapport h lui-même. Le potentiel du courant primitif par rapport au courant supplémentaire est, d'après Texpression (lo) du potentiel d'un courant
HiiclF + i'dG 4- ^vrfll) rfT.
Quant au potentiel du courant supplémentaire par rapport à lui-même, ce sera une quantité infiniment petite du second ordre et on pourra le négliger ; on a donc
rfT =j\iidF -h ^dG + jv^/H) rfT.
Mais on peut considérer rfT comme étant égal au potentiel du courant supplémentaire par rapport au courant primitif augmenté du potentiel du courant supplémentaire par rapport à lui-même. En négligeant ce dernier, il vient
dT=C(Fdu + G^/r + IhAv) ^/t,
et en additionnant les deux valeurs de dT puis divisant par 2,
IT = — I [F du + lidF 4- Grfr 4- ^>dG + lU^^' + ^^'^^H ) ^^t,
ou
(F/^4-Gf' + ILv)rfT.
