APPLICATION AU CAS DE DEUX CIRCUITS
la connaissance de cette fonction permettrait de déterminer s et par suite la position d'une molécule d'électricité sur le circuit C; Maxwell prend la quantité
qui est, ainsi que nous allons le démontrer, une fonction de s.
En effet la section du conducteur, qui peut être variable d'un point a un autre, est une fonction 'p [s) de l'arc s ; la vitesse de
l'électricité, quotient de l'intensité par la section du conducteur,
i . . , rfs
est alors — —, et comme cette vitesse a aussi pour valeur -r nous
cp [s) ^ dt
devons avoir
ds /
dt ois) '
d'où nous tirons,
et
s^ étant la position de la molécule d'électricité à l'origine des temps. Par consc({uent, y est une fonction de s seulement et nous pouvons prendre pour les paramètres dont dépend la position d'une molécule du fluide impondérable de Maxwell les quan-
154. Application au cas de deux circuits. — Si nous désignons par t\ et /, les intensités des courants qui traversent ces circuits et si nous posons
la position d'une molécule du fluide impondérable de Maxwell dépendra des paramètres y^ et i/^ et des w paramètres x^, ..., x^ qui définissent la position des molécules matérielles des conducteurs.
VALKi'IiS DES FORCES ELECTROMOTRICES DlSDL'CTIOy iSg
Cl eutretcmi par une plie de force électrornotrlce E^, la quantité d'énergie voltaïque qu'elle fournit pendant le temps dl est E,ijrf/ ou E,oy,. Or dans les idées de Maxwell la force électromotrice est une force qui agit sur les molécules du fluide impondérable ; par suite EjOy, est un travail résultant du déplacement des molécules de ce fluide.
Mais la force élcctromotrice de la pile n'est pas la seule force qui agit sur les molécules du fluide impondérable ; il faut encore tenir compte de la résistance qu'oppose le milieu au mouvement de ces molécules et dont le travail se retrouve sous forme de chaleur dans le conducteur. La quantité de chaleur ainsi produite étant, d'après la loi de Joule, Wfidl^ le travail accompli par le fluide impondérable est — W^i\d(^ ou — Rj/jOy^.
Nous avons donc pour le travail du fluide impondérable dans le circuit C,
{\\, — ]\,i,)fjy^,
et pour renscnible des deux circuits
^y^ — ^\h) ^Ui + (Ki — K.'J ^^Ur
Quant au travail des molécules matérielles, il ne dépend que des paramètres .r,, .r^, r,',; nous le représentons par
de sorte que nous aurons pour le travail accompli dans un déplacement virtuel tant par les molécules du fluide impondérable que par les molécules matérielles
(E, — H,/,;oyj 4- ,;E,— l{,/,;o//,+X,ox,+X,o.r,+ ...+X,.o.r„,
et il nous faudra, dans chacune des équations de Lagrange, prendre pour second membre le coelïicient de l'expression précédente (jui se rapporte au parirmètre considéré.
157. Valeurs des forces électromotrices d'induction. — I /équation de Lagrange relative au paramètre y^ est
^/T, I ^/;"L/7 + aM/,/, + N7T| ^ d'Y
dt \ dfj\ ' •> dij\ J dij^ "' "''
lîo ISDICTIOX
Mais T ne dépend pas de y^ puisque aucun de ses termes n'en
dépend; par conséquent -7 — = o. On a aussi --7-p- = o car T,
éUmt Ténergre kinélique des molécules matérielles il ne dépend pas de y/. L'équation précédente se réduit donc à
ou
— (L/, + MiJ = R, V
La force électromotrice d'induction est donc la dérivée par rapport au temps, changée de signe, de L/, + M/^. C'est l'expression à laquelle nous étions parvenus par la méthode de lord Kelvin.
En écrivant l'équation de Lagrange relative au second paramètre ^î, nous trouverons pour la force électromotrice développée dans le second circuit
158. Travail des forces èlectrodynamiques. — Si nous prenons une des équations de Lagrange relatives aux paramètres j\, .i\..,, .r„, nous obtiendrons le travail des lorces électrodynamiques pour un déplacement correspondant à l'accroissement Sj', du paramètre considéré.
ICn elFet, en observant que L/îH-2 M/\/^ + N«| ne dépend pas de la dérivée .^•',, que T, ne dépend pas de ./-, et que /, et /, ne dépeiideiit ni de .i^, ni de .r„ nous avons
(l r/T, I /., (IL . . ^M ., ^/N . ,
df d.v', 2 V dx, ^ ''' dj- ^ ' r/.r,
Si nous su])p<)S()ns en outre qu'à Tinstant considéré le système ioit au repos, '\\ sera nul, et nous aurons pour le travail résultant d'un déplacement virtuel,
Mais ce travail est celui des forces extérieures qui agissent sur
TRAVAIL DES FORCES ÉLECTRODYNAMIQUES lîi
les molécules matérielles du système ; celui des forces électrodynamiques est de signe contraire. Il est donc égal a la variation de la fonction
^(L/î + aMv.+N^I),
qui est, comme cela devait être, le potentiel électrodynamique du système par rapport h lui-même.
159. Cherchons maintenant le travail des forces électrodynamiques exercées par le courant. C,, supposé fixe, sur le circuit C^.
Le circuit C, ne se déformant pas, SN est nul et le travail des forces électrodynamiques se réduit il
— (/J3f. + 2/.i'oM).
Mais le premier terme de cette somme se rapporte à l'action que le courant C, exerce sur lui-même. Par conséquent le travail des forces électrodynamiques dues a Faction du courant C, sur le circuit Cj a pour expression /,ij8M. D'ailleurs M/,/,, potentiel électrodynamique du courant C, par rapport au courant C^, a pour valeur (129)
f,/j = /, I (/a + w^ + /«y) rfco
quand C^ se déplace dans un milieu non magnétique, ou plus généralement
Mijfj = /j / {la-\-mh-\-nc)diù
quand C, se déplace dans un milieu magnétique en un point duquel les composantes de l'induction magnétique sont a, i, c\ nous aurons donc pour le travail des forces électrodynamiques qui s'exercent entre Cj et C^
/jO \[la -\-mb '\- ne) dto .
160. Expreaeion des forces électrodynamiques. — Si nous ilésîgni>iis pur X(/t, Yi/i, '/.d- les composiiiitcs de la force électroilvn»m!i[uc (lue û l'action du courant C, sur un élément x, y, z du circuit C,, le travail de ces forces cjuand l'élément se déplnce de 3j', Si/, 5; scrii
(î, sern. qu:i
iraviiUdee ul le cire
orces électrodynamîques qui ngisscnl sv t tout entier se dépljice ou se déforme.
jd-.{\^x+\Z,j^-/2z\
ritilégrjilion étant prise le long du circuit C,. En
expression du travail a celle (jue nous nvons Ironi
s la relation
ment nous obteno
dont nous allons Soient C, [fig.
galant cette c précédem-
^yi,j
•valuer le second membre,
Sa) la position du circuit C, et C, sa position (innlt^. Nous pouvons par ces deux positions faire passer une surface A et prendre pour champ d'intégration de
la-
•nh -
n<-\ rf<i»,
l'aire limitée sur cette surface par la courbe C,. [.a variation^ cette intégrale quand le circuit passe de C, en C, est alors la valeur de cette m^mc intégrale étendue ii l'aire comprise entre les deux courbes. Pour trouver cette valeur considérons un élément mit du courant C, dont la position "après le déplacement est m'n'. La figure 7Hn m'n' peut être considérée comme un parallélogramme dont If colé mn a pour projeclious du; dy, dz et le côté mn' , égal un déplacement, àc, tij, 2:; nous avons donc pour les aires des projections de ce parallélogramme sur les plans de coordon-
Idiii = Zyds — 'j'dy, mdtii ^ ùzdx — Sxdz, ndta = àxdt/ — Syrfj",
CAS D'UN NOMBRE QUELCONQUE DE COURANTS i^l
et, par conséquent,
3 i[la -j- nih + ne) rfw = j a {oydz — ozdy) + b {ozdx — oxdz)
c i^xdy — Zydx, )
En portant cette valeur dans Tégalîté (i) H vient,
id'z (Xox + Yoy + ZSs) = /, / [cdy — hdz^ ox + [adz — cdx) o//
(Arfr — at/.r) oc ;
ce qui nous donne en identifiant
Xd'z= i\ {cdy — bdz)y Y</t = /, {adz — cdx)^ 'Ad'z = i\ {bdx — (i^dy).
Mais on sait que
iidi = i^dxy çd": = i\dy. ivrfx = i^dz,
par conséquent, les trois équations précédentes peuvent s'écrire
/ X = 6'f — iii' (2) Y = aiv — eu
Z = bu — ai\
161. Cas d^un nombre quelconque de courants» — Forces électrodynamiques, — Les formules précédentes s'appliqnent au cas où un nombre quelconque de courants C,, C,..., C„, agissent sur l'élément considéré du circuit C,. En effet, appelonsaj, b^^e.^, a,, b^.,., c'„ les composantes de Tinduction magnétique due aux divers courants au point où se trouve l'élément de C,. La force électrodynamique produite par l'ensemble des courants est la résultante des forces produites par chacun d'eux; sa composante suivant Taxe des x est donc
Z = r^<> — b^w + c^i> — A,w + .. . + r„i> — i„iv, ou
ou, enfin, en désignant par a, &, c les composantes suivant les
FORCES ÊLECTROMOTRICES D'INDVCTIOS i45
par conséquent, nous aurons pour la variation correspondante de M/^, l'intégrale du second membre.
Pour avoir la variation de M/, résultant du changement des intensités prenons M,/^ sous la forme
Puisque les circuits ne se déforment ni se déplacent, le contour d'intégration reste le même et la variation de M/, se réduit à
fùYdx + oGdy + Uldz.
Nous aurons donc pour la variation totale de M/^j
I a {ot/dz — ozdi/) + b (Zzdx — o.rrfr) -\- c {pxdy — Zydz)
+jVPdx + oGdy + olldz et par suite, pour la force électromotrice d'induction
mi.
■ j a {y'dz — z'
dy) -\- b (z'dx — .v'd-)-\- c {.l'dy — y'dj)
/df
rfF , dG ^ , dll ,
de -I 7- du -\ 7— dz
dl •' dt
ou encore
M«, / / , , dF\ , / , , dG\ ,
^-j ('y -hz--j^)d.+ («.' - ex' - -^) dy
+ (l>.r' — ay' - -j-\ dz.
163. Si nous désignons par P, Q, R les composantes suivant les trois axes de la force électromotrice d'induction par unité de longueur, la force électromotrice dans le circuit C, est donnée par l'intégrale
fpdx-i-Qdy + Rrf?.
PoiNCARÉ. Electricité et Optique. lo
i46 INDUCTIOS
En identifiant avec l'expression précédente de la force électromotrice nous obtiendrons trois relations dont la première est
Jprfx= / {cy'
Nous en tirons par différentiation
(i) ^ = cy' — bz' —
dt
mais il est évident que nous pouvons ajouter au second membre de cette dernière relation la dérivée partielle — -r-!- d'une fonction uniforme — ^, car, en intégrant, Tintégrale relative à ce terme sera nulle et la relation (i) sera encore satisfaite. Nous avons donc pour les composantes de la force électromotricc d'induction par unité de longueur
l¥ di(
! P^cy'-b--^^
(2) / Q = az^ — ex' —
dt dx
dG d^
dt dy
U = bx" — ay' = 7^.
\ ^ dt dz
164. Montrons maintenant que ces équations sont encore applicables au cas où un nombre quelconque de courants C,, C,,... C„ sont en présence du courant C,.
La force électromotricc d'induction développée dans Cj par Tensemble des n — i autres courants est égale à la somme des forces électromotrices développées par chacun d'eux; on a donc pour la composante P,
dt dx
dt dx
^ '"^ ^''^ dt dx '
SIGKinCATIoy SE l
Or > cet > /> sont les cumpusunlcs siiivnnl lieux lies axes (le l'iiidurtioD mngiiélique au poiiif coiisidéii? sur C, ; > F est lu conipoanntc du moment électlo magnétique au môme poiiil ; quant il > iL c'est une ronetioii uniforme des coordonnées. Par conséquent hi piemiêrc des éi[ii!ili<ius du groupe (a) s'applique au cns d'un nombre quelconque de couriinls pourvu que l'on prenne pour h, c, et F les vuleurs de ces quantités dues îi l'ensemble des courants ngîssunls. On verrLiît de la mi^me manière que tes deux autres équations sont égidenient iipplieables.
165- On peut aussi tenir compte de l'iiction du courant C, sur lui-même. Eu cITet nous pouvons considérer ile circuit C, comme formé de deux portions, l'une se réduisant ii l'élément de circuit pour lequel ou cherche les composantes de hi force élec- Iromotrice, l'autre comprenant le reste du circuit. Cette dernière portion peut être confondue avec le circuit C, hii-m^me, de sorte que si l'on néglige rinduelion de l'élénienl sur lui-même l'induction provient (tes « circuits C,, Cj,.., C„. Les composantes de lu lorce éleclromotrice seront donc données par les formules (a) où rt. Il, c, F, G, Il seront les valeurs dues à tous les courants.
166- Signiûcattion de -l. — l.a fonction i{f est une fonction quelconque des cooriluunéfs assujettie ii la seule condition d'être uniforme. Ma.xwel admet que c'est le potentiel électrostatique résultant des masses électriques qui peuven t exister dans Icchainp,
Celte hypothèse aurait hesoin d'être vérifiée expérimentalement par ta concordance entre les valeurs mesurées des forces éleclromotrices d'induction dans un circuit ouvert et les valeur» fournies par les équations (a) où ■]■ serait donnée par l'expérience et les quanlilés n, b, <; F, G. H par les formules
A = ^ + 4TrB,
M8 jnductiojv
et
Toutefois il est toujours permis de prendre pour '| le potentiel électrostatique car les quantités F, G, H n'ont pu être déterminées qu'en les supposant liées par Téquation difTérentielle
rfF . rfG (lll
dx dy dz
et nous sommes libres d'abandonner cettfc hypothèse. Si nous n'avions pas introduit cette hypothèse, nous aurions trouvé pour F, G, H des valeurs de la forme
F = 1 Jl.^, + '^^'
■fi"
rf.r
y, étant une fonction arbitraire des coordonnées, et pour les composantes P, Q, R de la force électromotrice par unité de longueur
^ / I / l du d-z d'^/. dit
^ J dt r d.vdf dx '
{\ = az' — ex
/dv d' d'I. d^
dt r dydt ~dy '
^ , , , i dw d-z d'7. dif
R = bx' — ay' — I — J—. T^ .
^ J dt r dzdt dz
11 est donc toujours possible, en choisissant convenablement la fonction arbitraire '/ de faire en sorte que la fonction ^ qui entre dans ces équations et les équations ('>>) représente le potentiel électrostatique.
