POTENTIEL DU A UNE SPHERE ELECTRISEE

Le produit du flux de force élémentaire par ce facteur est nommé flux d'induction.

Le flux d'induction à trai>ers une surface finie est la valeur de l'intégrale

K^dio, an

étendue à tous les éléments de la surface. Quand la surface est fermée nous admettrons (ce que Texpérience confirme) que la valeur de cette intégrale est 4-4?^ M, la direction positive de la normale étant extérieure à la surface. Dans le cas où le pouvoir inducteur spécifique est constant on a

dîù = 4^ M.

14. Potentiel d'une sphère èlectrisée en un point extérieur.— La considération du flux de force permet de trouver facilement la valeur en un point P (fig. 2) du potentiel résultant d'une sphère conductrice \^ èlectrisée S placée dans Tair. On trouve \

pour cette valeur — , M désignant la ^^^

charge de la sphère et /• la distance ^ »

du point au centre de la sphère. De /

même la considération du flux d'indue- /

tion donne la valeur du potentiel en P ''

quand la sphère est placée dans un

diélectrique homogène dont le pouvoir inducteur spécifique est K.

Du centre O de la sphère et avec un rayon égal à OP décrivons une sphère S'. Par raison de symétrie, le potentiel a la même valeur en tout point de S^ ; par suite,

d^ d^ dn dr

lo FORMULES DE L'ÉLECTROSTATIQUE

est constant sur cette surface. On a donc pour le flux d'induction à travers S'

K-:^r/(o = — K-^ / dio = — K-^^Ty'.

La surface étant fermée le flux d'induction est égal à ^tzS\. Par conséquent nous avons

d'I dr

di i M

et par suite

dr K /

la constante d'intégration étant nulle puisque le potentiel a pour valeur zéro quand /• est infini.

Le potentiel en un point d'un diélectrique de pouvoir inducteur spécifique K est donc, dans le cas d'une sphère, égal au quotient par K de la valeur qu'aurait eue le potentiel en ce point si le diélectrique eut été l'air. Il en est encore ainsi si, au lieu d'une sphère conductrice électrisée, le champ électrique est constitué par des masses électriques quelconques.

15. Remauques. — Cette conséquence nous permet de trouver l'expression de la force qui s'exerce entre deux molécules électriques A et A' de masses m et m' situées dans un diélectrique homogène. En eflet, soit à la valeur du potentiel au point où se trouve placée la masse m'. La force électrique qui s'exerce sur

cette masse est — //î' -t-î-, /• désignant la distance des deux molécules supposées seules dans le champ. Or si le diélectrique était l'air, le potentiel au point A' serait — ; sa valeur dans un diélectrique de pouvoir inducteur spécifique K est donc, d'après ce qui

EXTEKSIOK DE LA HfLATIuy DE l'OISaoy

pn^eéde, -^ et la ilêrivée tic celli' (juiinlil

suilo, nous (ihtonoiis pour lu IVircp ('lerlrique

elle est la K" piirlie de 1» forée qui sVxeict'iiiîl cnln- les nii^mes masses êleetriijiK's situées dans l'iiii'.

Lu relntion qui existe enlre les videurs (jue preud le potenliel ■'Il un même point suivant que le diélectrique est l'air, ou tout autre corps, permet de savoir comment doivent varier les charges avtic le diélectrique pour que lo potentiel en un point conserve la même viilcur quel que soit le dtêlectriquc. Il est en t'IIVl évident que, puisque pour des churges Identiques le potentiel se trouve divisé pur K, il faut, pour avoir le même potentiel en un point, que les charges situées dans le diélectri(|ue de pouvoir inducteur K soient K l'ois plus grandes que dans l'air.

Si doue nous considérons deux petites sphères êleetrisées et qoe nous maintenions constante la difl'érenec de potentiel entre ces deux sphères, l'attraction qui s'exercern entre elles sera proportionnelle au pouvoir iuducteur du diélectrique (lui les sépare. En elle t, les potentiels étant constants les cliiirges m et m' des deux sphères seront en raison directe de K et rattraclioti doit être

,, , mtii' proporlionuclle a — .^— ■

Ainsi l'alliaciion cleclrostnlit/iie varie en raison ittrerte de K ai vc sont les pofentiels tjit'on niaiiUienl i-onslonls, et en raison inverse de K si le sont les chnrges qui demenient vonstantes.

16. Extension de la relation de Poisson. — (Uniinie nous l'avons dit, la relatîou de Poissoji s'obtientcnécviviint que le lUix de force qui entre 11 travers les faces d'on parallélipipêde rectangle est égal il — ^-K-^d-rdyilz. Le ilux d'induction ii travers une surface fermée étant égal ii + ^tCS\, comme le Ilux de force ii travers cette surface, nous trooverons uue relation analogue ii celle de Poisson en écrivant ([ue le flux d'induction qui entre ii travers les faces d'un parallélipipède élémentaire est égal ii — ^■a^d.fihidz.

Nous pouvons d'ailleurs arriver très simplement îi cette relation en nous servant du lemme qui sert ot'dinuirement ii la

la FORMULES DE L'ELECTROSTATIQUE

démonstration du théorème de Green, lemme exprimé analytique ment par Tégalité

dans laquelle la première intégrale est étendue à une surface fermée et la seconde au volume limité par cette surface, a désignant le cosinus de l'angle formé par Taxe des x et la normale il l'élément dtù de la surface et F une fonction quelconque, mais continue, des coordonnées.

Appliquons ce lemme à l'intégrale du flux d'induction à travers une surface fermée,

Nous avons

J dx f dx dx

et en ajoutant

îîj: ,/^=4^M

J \ax dx dy dij dz dz J

Si nous désignons par p la densité cubique en cha([ue point, nous avons

EXTEySIOS DE LÀ RELATION DE POISSON i3

et par suite,

/ \ dx dx dy dy dz dz ) * J^

Cette égîiHté ayant lieu quel que soit le volume considéré, elle sera vraie pour un volume infiniment petit ; nous obtenons donc

Dans le cas particulier où le diélectrique est homogène, c'esti)-dire dans le cas où K ne dépend pas des coordonnées, cette relation se réduit à

dx dx * ^ '