TT + Y

On peut dire qu'il y a quatre forces électromotrices se faisant équilibre ;

dl

y dz,

dG

C dy

dt

C dz

dl

, ^ ,, . / rfç d'^ do\

La force électrostatique I — -7^ , — -j^ > — 777 ) >

2" La force a induction I -7- , -7- , -j- I ;

3*^ La force électromotrice extérieure (d'origine chimique, thcrmoélectrique, etc.) (X, Y, Z) ;

4 La force electromotrice résistante I jrr , p- , pr

L'hypothèse sur laquelle reposent les formules (12), Textension de la loi de Ohm aux conducteurs à trois dimensions, semble très plausible ; mais c'est une hypothèse, et M. Bertrand n'en admet pas la légitimité. Nous verrons qu'en faisant sur la généralité de la loi de Joule dans les conducteurs à trois

aS5 rUÉOHlE OF. BEUIHOLTZ

dimensions une hypulhcse qui paraîl s'iaiposer [voir formule (iS big), a''270]. les i'ormulcs (la) s'accordent avec le principe de lu conEervutûiii de l'énergie. 11 y a plus : on pourrait appli- ([uer aux conducteurs à trois dimensions les équations de Lagrange et de lu tlicorie de l'induction de Maxwell (i" partie, "° 151) ; si je ne donne pus diins ces leçons ce calcul, c'est qu'on a ici un nombre iiifint de paramètres, et que je serais forcé d'employer le calcul des variations.

Je me bornerai à dire que *( Con oiltnel la forn/i'h- [tS bis), le calcul conduirait aux équations (la;.

267. Déûnition de la force magnétique. — Dans le cas oit lortx les voiiranls sonl fermés, la force magnétique est susceptible de deux dêiinitions équivalentes.

i" On peut dire que la force magnétique, dont nous avons appelé les composantes a, ^, v, est la résultante de toutes les actions électromagnétiques appliquées à un pôle magnétique égal à I. C'est la définition que nous avons duunéo plus haut au u" 147. Un pôle magnétique peut être assimilé il un solénoîde iiidélini. En elfet l'action d'un courant fermé sur un soléuu'i'de fermé est nulle ; son actiuu sur un solénoïde limité ne dépend par conséquent que de la position de ses deux exti'émiles qui peuvent être assimilées ti deux pôles mugnétiques égaux et de signe contraire ; son action sur un solénoîde indéfini est donc lu même que sur un piMc magnétique unique situé ii l'extrémité libre du solénoïde (Cf. i'" partie, n" 124) ;

•/" Considérons un élément magnétique et soient Ai/t, B(/t, Ci/t, les composantes de son moment magnétique. Les actions subies par cet élément peuvent se réduire ii une force unique appliquée au centre de gravité de l'élément et dont les composantes sont :

/rfa

FORCE MAGyÉTlQi'E 287

et à un couple dont le moment a pour composantes :

I (C?-By)rf.,

) (Av — Ca)rfT, (Ba — Ap)rf':.

En d'autres termes le moment de ce couple est normal au plan des deux vecteurs qui représentent le moment magnétique de Télément et la force magnétique et est égal au produit de ces deux vecteurs par le sinus de leur angle.

Si l'élément change de direction sans que son centre de gravité se déplace et sans que la grandeur de son moment varie, le travail de ce couple est égal à la variation du produit de ces deux mêmes vecteurs par le cosinus de leur angle, c'est-à-dire h la variation de l'expression suivante :

(Aa + B;î+Cy)rfT.

Imaginons maintenant un circuit fermé infiniment petit, parcouru par un courant d'intensité i ; soit d(^} Taire de ce circuit ; /, /;;, n les cosinus directeurs de son plan. Ce circuit sera équivalent à un élément magnéti([ue dont le moment aura pour composantes :

J Bd'z = imdio,

, Cd': = ind(i}.

Les actions subies par ce circuit se réduiront donc à une force unique appliquée au centre de gravité du circuit et à un couple dont le moment aura pour composantes :

( 1 2 his) \ idiù (fy — nu) ,

( idti)[moL — /,3).

Si le circuit change de direction sans que son centre de gravité se déplace, sans se déformer et sans que l'intensité i varie, le travail de ce couple sera la variation de l'expression :

( 1 2 ter) id(»} {h -{-/'«? + ny) .

POTENTIEL ÉLECTRODYNAMIQUE 289

■ Celte fonction arbitraire qui ne contient pas les cosinus directeurs /, m et n est évidemment nulle ; car T doit changer de signe quand le courant change de sens, ou ce qui revient au même, quand on fait tourner le circuit de 180** autour d'un axe situé dans son plan, ou ce qui revient encore au même, quand on change /, m^ n eh — /, — /;i, et — n. On a donc finalement :

T = idiù (a/+ ,3/w -|- y/i).

Si le circuit C est fini, on le décomposera en une infinité de circuits infiniment petits ainsi qu'il a été dit au n° 107 de la première partie et on aura :

l'intégration étant étendue à tous les éléments rf<i) d'une aire A appartenant à une surface d'ailleurs 'quelconque passant par le circuit C et limitée par ce circuit.

Quant à /, /;?, /?, ce sont les cosinus directeurs de Télément rf(o ou, ce qui revient au même, de la normale à la surface h laquelle appartient l'aire A.