AF

AF= — 4r« + (i —X) K

Ixdt '

AG = — 47t*' + (i — k) \

AH = — 47:n' 4- ( I X) X

dydl '

d^ Hd't'

dF dG dll „ d-s>

= — /cK -4-

dx dy dz dt

ÉQUATIOS DE CO:^TiyClTE 291

Donc,

r/i^ rf;; dx dxdi ^ ' dxdt

. dH

Un calcul analogue au précédent nous donnera

dx dy '

On obtient ainsi finalement,

/ dr d^ , . d-:>

. dy dz dxdt

^ ' dz dx dydt

d'i doL , , d-'^

dx dy dzdt

Dans Maxwell, les derniers termes n'existent p^s. Nous verrons en effet que Maxwell suppose a :^ o.

Les équations (i5) se prêtent h la vérification suivante : En differentiant la première des équations (i 5) par rapport ii,r, la seconde par rapport à y, la troisième par rapport à r, et ajoutant il vient :

, l du dif div \ ^ , rfî5 En effet, nous sinnins que (n*^ 166),

d'où,

AA.p = — 47:0,

et en differentiant par rapport h /,

- . rf'^ , do

ll-^ = — 47: -y-, dt dl'

a92 THÉORIE DE IIELMIIOLTZ

d'où,

^ / (lu , dv (hv do \

Nous rcirouvons ainsi Téqnatioii de continuilé.

CONSERVATIOX DE l'ÉNERGIE ET STABILITE DE l'ÉQI'ILIBWE

269. Expression de l'énergie électrocinétique T et de l'énergie électrostatique V. — Je vais donner de T une expression nouvelle. Reniplaeons dans l'écjuation (8)

II, i», il' par leurs valeurs tirées de (i5). 11 vient alors,

(.(>/./.) T = ^ / >;(:;j.iâ)pvT

I / V- ^'"^ r^ 8:: 1 ^ dxd(

OÙ le sit^ne ^ indique une permutation eirculaire à efiectuer sur

les lettres a, ,3, y; .r, //, z et F, G, II.

Fa\ intégrant par parties dans fout Vespacc on a,

I'Wt= —

CONSERVATION DK LÉSERGIE 29$

I dG

dx I dx

dx I dx '

-—- lld'z = f -7— af/T.

«Z^ f dj/

La première intégrale de [i6^bis) a donc pour valeur

' ■ (a*+.3'+YV^

d'après (i4)'

La seconde intégrale do (16 bis) se transforme de même, et on obtient

dxdt I dx dt

'u^d.=- f^'-îd.; dzdt I dz dt '

a9 I THÉORIE DE UELM^UOLTZ

donc, finalement,

^ / V '''? ^ — L. i EL (— J!9- —\ rf

8^ / 2j dxdt '^" — — 8- / 'dTKdx'^di/'^ dz ) '

et, en tenant compte de (n),

L'expression (i6 bis) devient donc finalement,

Si k est positif ou nul, tous le& éléniie»t6 de Timiégrale s«nt positifs, et si T est nul, c'est que tous ses éléments soat nuls ; au contraire, si k est négatif, on ne peut alUrnier qœ du momei^t que T est nul, tous les éléments soient nuls et qu'il n'y ait |M6 de courant.

T, énergie électrocinétique, n'est qu'un des termes de l'énergie. L'autre terme est l'énergie électrostatique

Or:

Donc,

aAc5 :^^ — 4~3.

U= — ^ I l-i.-ifh.

Or, d'après le théorème de Green,

/*,.,.= |'[(iL)v(|)V(5)'].

COSSERVATIOS DE VÉSERGIE 29$

L'expression U s'écrit alors,

U est donc essentiellement positif.

L'énergie totale T + U est positive si k ^ o. Si k est < o, T + U peut être de signe quelconque.

Supposons que F, G, H, soient tels que l'on ait,

dx ^ dy '' dz^

y étant une fonction quelconque de x^ y, z; les trois binômes (i4) sont alors nuls, et le premier terme de (16 ter) disparait. Le second ne disparaît pas.

Supposons maintenant que '^ = o a Torigine des temps; T + U sera négatif; comme o = o à l'origine des temps, il n'y a pas d'électricité libre au début, mais il y en a tout de suite après,

car —7^ n est pas nul.

270. Conservation de Vènergie, — Vérifions que l'énergie se conserve, c'est-à-dire que la variation T -[- U est égale au travail accompli par les forces électromotrices extérieures (chimiques, thermo-électriques, etc.), diminuée de la chaleur dégagée dans les résistances en vertu de la loi de Joule :

(18) ^/(T+U)^=— rf/ / ' r ' rfT-f.rf/J(X,,-f-\V-fZiv)rfT.

Reportons-nous aux équations (12) et multiplions la première par — iid-z, la seconde par — r</T, la troisième par — fvrfT, puis iutégrans dans tout l'espace et ajoutons ; il vient,

(18'; — / "'"^'^'"^'''' ,/^4-J(X^/+Yi^ + Z^-) di

rf'f d's> dzi\ ,