THÉORIE DE HELMHOLTZ
Nous allons démontrer que la première intégrale du second
rfU , , dl
membre est— 7-, et la seconde-^ —
dt ' dl
Joule. Montrons cela. Une ligne de courant est une ligne qui satisfait aux équations différentielles ==— ^ = — ^ c'est-à-dire
qui a pour tangente en chaque point la vitesse de Télectricité.
Un conducteur à trois dimensions peut être considéré comme formé d'une infinité de conducteurs linéaires élémentaires ayant la forme de cylindres infiniment petits, de hauteur ds^ de section droite rfw, de volume di = dsdiù et dont la hauteur est dirigée suivant les lignes de courant.
Admettons que la loi de Joule s'applique à ces conducteurs lin éa ires élém en t aires .
Si Ton considère Tun d'eux, la chaleur dégagée par le passage du courant est Ri^dt ; or
Cdtû '
et
i^ = [u'+i^' + w')dio';
donc,
( 1 8 his) Rl'dt = ^"^.^ dsdiodt = ^ "^ d-z.dt.
271. — Je me propose maintenant de démontrer que la première intégrale du deuxième membre (de 18') est égale h — y-- Nous avons vu que,
COSSERVATIOS DE L'ÈSERGIE
Je dis que,
Car,
et,
d\] dl
dt
Vax effet.
dt
Nous tirons de la,
(i8^er)
rfp' rfT^T'
rf^ )v
car la première intégrale ne change pas, si on permute o et p' en môme temps que rf-r et ^t', puisque les deux intégrations par rapport h d'Z et dl! s'étendent à tout respacc. Donc,
d\] dt
D'autre part,
du dx
dv
dy
div
par conséquent,
dt
dv dw \ .
dy dz I
'ic^ TUÉOBIE DE UELMUOLTZ
et en intégrant par parties dans tout Tespace il vient finalement.
dl
/[ d'z> dz. , f/'j \ ,
c'est ce que nous voulions démontrer.
