dx avec

u'dz

1/idcntité à démontrer devient alors,

du . I — A-

VI ,, du ,

I — k / V^ ^'^ fiff 2 / ZjdÂ'Jt^*

> ~—nd'z-\ 1 > u-j-, d'.

^ dl 'X I ^ ^-^'^^^

Or, on a,

COKSERVATIOÎf D£ LENEBGIE

/,„ du , f dV ,

car

du' d'.d^' ~dt ~

les iiitcgratioiis par rapport à dz et d'z' s'ctendant à tout Tespace. Eu ce qui coucerne les intégrales

.^ d'I du

d.v di

dz et

dsdt

je dis que, .

d'I du dx di

En effet, en intégrant par parties clans tout l'espace, il vient pour la première intégrale,

d'I du

dx dt

' dxdf

et pour la seconde,

/d'I ^ i dà du ,

. ' udz = — I —r -r- dz .

dxdt j dt dj-

11 faut donc démontrer que

dxdl

àd' =

d'I du

di d.v

Or on a,

VI du dz

2^~dx~~'dl'

yi d^u rf-p

ÎOO THÉORIE DE IIELMIIOLTZ

(l'autre part,

et, par un artifice de calcul analogue à celui qui nous a ser\'i à la démonstration de Tégalité (i8 ter], on obtient l'égalité,

I I <it dt' ' I I dt dt' ' ' '

donc,

/Y^ , dUi / Y^ dl du j ZS'^d^t~ J 2jdFlû

En remplaçant les deux intégrales du second membre de (i8') par les valeurs ainsi trouvées, on a :

rf(T+lJ;

Hl= rJi!±^'rf,+J(x„+Y. + z.,orf^.

Si on multipliait cette équation par dt^ le premier membre représenterait raccroissement de Ténergie tant électrodynamique ([u'éleclrostatique, la seconde intégrale du second membre représenterait le travail des forces éleclromotrices extérieures (chimiques, thermo-électriques, etc.); la première intégrale du second membre représenterait l'énergie perdue sous forme de chaleur de Joule.

(]ette é([uation exprime donc bien qu'il y a conservation de l'énergie.

273. Stabilité de Véquilibre. — Dans le cas où il n'y a aucune force électromotrice extérieure au système,

ÉnOE DES ilIUEfX .V.IC.ViT/çrÊS 3oi

lu dérivée de T + Ij p!"' nipi'"!'! i"i tomps esl donc csseiiliellemeiit négnlive dans ce eus.

Si la conslantc k de llclrnluillz esl ^ o, l'équilibre est stiiblc. Fin ell'ct, T + U est esseiitifllemeiit positif et ne s'annule que s'il n'y a ni éleclricilé libre ni courunts dans l'espuce ; si T + U est Irts petit, c'est que les courants el tti densité de l'électiicité libre sont purloul très petits. Flirtons de l'équilibre : T+ U=^o, et faisons subir une petite perturbation, T + U prendra une Videur positive très pelile; mais si nous iibandonnons le sjslêmo il lui-même, T + U va aller en diuiinuanl, tout en restant positif; T + U reslera donc très pelit. et- qui ne peut avoir lieu ' (juc si les cnuranls resteni eux-rn<>niuB très petits. Donc il v a Stabilité.

Au contraire, si h est négatif, nous pouvons encore partir de l'équilibre absolu et faire subir au système une perturbation Irl-s petite; mais nous pouvons toujours supposer cette pcrturbaliun telle que la valeur iuilîale très pelile que prend T -}- U soil négative. A partir de là, T + U va diminuer ; sa valeur absolue va aller en croissant, et on s'éloignera de plus en plus de ré(|uiiibre primitif. L'équilibre est instable,

Nous devons donc rejeter toute ihénrie qui donne à /i une valeur négative, en jiartieulii-r la lliêurie de. Weber, qui se drdiiil de celle de Helmlioli/, ei. f;iisL.i.[/, = — i.

274. — Que deviennent, dans les milieux magnétiques, les équations (i4) et [i5)?

Dérmissons d'abord la force et l'induction magnétique en un point.

La l'orec magnétique sera la somme géométrique de deux m'ctcurs :

i" La force électru-niagnétîque, due aux courants fermés ou non, et déËnie comme au n" 28, telle qu'elle serait au point coulidéré si le milieu n'était pas magnétique : celte force pourra ne pas dériver d'un potentiel, cela aura lieu si au point considéré le courant électrique n'est pas nul.

5o2 THÉORIE DE HELMIIOLTZ

'.>^ Lu force magnétique due aux aimants permanents mi non ; elle pourra se réduire à faction qu'exerce Taimantation indaîte par les courants dans la niasse magnétique à Tiotérieur de laquelle est pris le point considéré. Cette force dérive toujours d'un potentiel, du potentiel magnétique:

Donc,

ai.

dz'l dj' ''

Quant à l'induction magnétique, elle est la somme géométrique de la force magnétique et de l'aimantation au point considéré, multipliée par 4^.

275. — Je dis que dans un milieu magnétique, les équations (i4) doivent être remplacées par les équations :

d\\ dG

. dy dz

\ dV dW

dz d.v

dG dF

d.r dij

et que les équations (i5) restent encore vraies.

276. — Kn effet, considérons un aimant; supposons qu'il n'y ait pas de courant extérieur. L'aimant peut être considéré comme constitué par un système de courants partlculaires d'après les Idées d'Ampère.

La composante F du potentiel vecteur dû à l'un de ces courants <'st :

I — A- aj

2 dx '

ÈTLDE DES HtUECX MAGSÉTÎQIES iai

Tous les courants narllculaires étant fermés, la dérivée -y-

disparaît, cl 11 reste

En transformant cette Intégrale de ligne en une intégrale de surface II vient

dit}' étant 1 élément de Taire embrassée par le courant ; celte aire est infiniment petite ; donc l'intégrale se réduit au seul élément

i (uo \ m -r-r — n

/V/to'^ -'

dz/ dy' /'

Le courant est équivalent à un élément magnétique, dont le moment a pour composantes A^d'z'^ B'di'y C'd'z\

k'd-z' = i'I'diù',

^ BV/t' = i'm'diù', ' Crfi/ = ïn'dt^' ;

par suite la composante F du potentiel vecteur dû à cet élément est

^ di di

Pour avoir la composante due à Taimant entier il faut intégrer par rapport aux éléments rf-r' du volume de Taimanl, ou, ce qui

io2 THÉORIE DE UELMIIOLTZ

•>^ La force magnétique due aux aimants permanents ou non ; elle pourra se réduire à faction qu'exerce Taimantation induite par les courants dans la masse magnétique à l'intérieur de la- «juelle est pris le point considéré. Cette force dérive toujours d'un potentiel, du potentiel magnétique :

Donc,

Quant à l'induction magnétique, elle est la somme géométrique de la force magnétique et de l'aimantation au point considéré, multipliée par 4"»

275. — Je dis que dans un milieu magnétique, les équations (i4) doivent être remplacées par les équations :

d\\ dG

<iy

dx dfj et ([ue les équations (i5) restent encore vraies.

276. — Kn effet, considérons un aimant; supposons qu'il n'y ait pas de courant extérieur. L'aimant peut c^tre considéré comme constitué par un système de courants particulaires d'après les idées d'Ampère.

La composante F du potentiel vecteur dû à l'un de ces courants est :

KTIDE DES mUECX MACSÉTtQUES ioi

Tous les courants parlîculaires étant fermés, la dérivée •— -

disparaît, et il reste

En transformant cette intégrale de ligne en une intégrale de surface îl vient

(lo>' étant 1 élcmeut tic Taire cnibrassce par le courant ; cotte aire est infiniment petite ; donc l'intégrale se réduit au seul élément

Le courant est équivalent à un élément magnétique, dont le moment a pour composantes AW, BWt', CV/t',

^ B'chJ = i'm'di^i', [ C'd^ = i'n'dt^' ;

par suite la composante F du potentiel vecteur du à cet élément est

Pour avoir la composante due à Taimant entier il faut intégrer par rapport aux éléments d'^ du volume de Taimanl, ou, ce qui

THEORIE DE UELMIIOLTZ

revient au même, intégrer dans tout l'espace, car, à Textérieur, A' = B' = C = o. 11 vient donc

Voici le point délicat du calcul : r est la distance de deux éléments di et di' et Télément d'z est à Tintérleur de la masse ; donc /•

peut être infiniment petit ; — est alors infiniment grand : s'il

est infiniment grand du premier ordre, -j-j Test du second, ,., i

et • , ,, du troisième ; et ainsi de suite, ff.r-

J'ai à prendre des intégrales triples ; si j'ai sous le signe / des termes en -— , l'intégrale est finie et déterminée, de môme pour

des termes en -7-7, mais il n'en est plus ainsi si l'on a des dérivées

dx '

secondes. Si on ne faisait pas attention à cette remar([ue, on démontrerait aisément ([iie AV est nul même à l'intérieur du corps attirant, ce qui est faux.

Je dois donc m'arranger pour ne pas introduire, comme aux

n"147 et n** 148, les dérivées secondes de — par rapport aux cordonnées.

Kn intégrant par parties dans tout Vespiicc, on a,

B'-lf H =.

fk'.

ÉTUDE DES MILIEUX MAGNÉTIQUES 3o5

I/expression de F que nous voulions transformer devient donc,

I \dy' dz'Jr'^''

/rfA' dC\i \ dz' dx'J r '

[dx' dy'jr

et de même :

Calculons maintenant l'expression qui nous intéresse,

dG dz

Il vient en dilTérentiant la troisième relation (20) par rapport à y et la deuxième par. rapport à z :

rfn

dG dz

dw'^-J-

dx' dy

dC '^7

rfT' —

dy' dy

dA^'^T-

dx' dz ^ 1 dz' dz

Considérons encore Tidentité,

Transformons ces Intégrales ; nous savons que,

dy ~ ' dy'' PoiNCARÉ. Electricité et Optique.

•XQ

TUEORIE DE HELMUOLTZ

parce que r est fonction de .r — .r', y — // et z — z' , On a donc en tenant compte de cetlc identité et intégrant par parties dans tout l'espace par rapport à y :

dx' dy

rfR-'^T^

dy dij

d.v'dy' I

ct, en intégrant de nouveau par parties par rapport à x'

rf-B' 1 dx'dy' r ^~ =

dij' dx

Donc,

rfB' '^7

et de môme,

dx' dz

dz' =

dl r

dz d.

D'autre part, si Ton pose

nous avons

A' —r—d~ dx

ÉTUDE DES MILIEUX MAGyÉTIQUES

et, en intégrant par partîes dans to«t l'espace, il vieat

d\ __ l dk' i ds J dj/ V

d'où, ca (liiTérentiant par rapport à x.

(V-\ dx'

et par un calcul analogue,

rf.V ''T

dz dz

Les équations ^21^ s'écrivent alors,

dO j j{C ^ . ,

dz ~J dz' d.v '

dX'

ds' dx

En additionnant membre :i membre ces équations on obtient,

'dF

dC.

dC \ r ,, .,,

-+-d7-)-ir''-^'''

3o8 THÉORIE DE HELMIIOLTZ

(l'autre part la relation de Poisson nous donne,