Commençons par le principe de la conservation du
matrnétlsme et faisons cette vérification en partant du magnétisme vrai.
(A)nsi(lérons une surlace S fermée. Il s'agit de (lémontr(M' ([ue le (hix magnéliciue il travers cette surface est constant.
Détachons de S un élément de surface rfo>. La surface restante S' sera ainsi ouverte. Le (lux d'induction à travers la surface totale S (Hlfère infiniment peu du llux d'induction h travers S'. Il s'agit donc de démontrer ([ue b llux à travers S'
rij,^
COSSERVATIOS DU MAGSÉTISME 35;
est constanl et que par conséquent sa. dérivée est nulle. Or nous avons
la première intégrale étant étendue à la courbe C limitant l'élément de surface rfco ^t la seconde à la surface S'; or, cette courbe est infiniment petite vu la petitesse de rfw ; Tintégrale de ligne en question peut par conséquent être considérée comme nulle et il reste alors,
in
' I / \fJ''^diù = o,
et par suite
303. — Pour V^ électricité y on démontrerait de la même manière que
rintégrale étant étendue à la courbe C. Et en tenant compte de (12)
diù =0
les intégrales étant étendues à la surface S' ou à la surface fermée S qui en diDFère infiniment peu.
Or, la première intégrale représente la quantité d'électricité qui sort de la surface S par conduction ; la seconde intégrale
ViS ÊLECTRODYyAMiqUE DES CORPS EN REPOS
représente le flux d'induction électrique h travers la surface S : c'est bien là le principe de la conservation de VèlectricUè,
VÉRIFICATION DU PIUXCII»E DE LA COXSEHVATION DE l/ÉXEHGIE
304. — Les équations de Hertz sont-elles conformes- au principe de la consen-ation de l'énergie?
Pour vérifier cela, voyons de quoi se compose cette énergie. Hertz admet que Ténergie totale se compose de Ténergic électrique et de Ténergie magnétique. D'après Maxwell, Ténergie électrique a pour expression
que nous écrirons pour abréger,
(-9) -T-Ea
l'intégrale étant étcMulue à l'espace tout entier. D'après Hertz rénergie éloclricjue a pour valeur
('>Oi
(]es doux oxpi'cssions i i() et '>.o) sont é(|nlvalenles ; il sullitjcn effet, (le nous rappeler (juc le veclcMii' iKP, KQ, KR) de Hertz est égîil au vecteur f\ i^, h de Maxwell au facteur /\t. près.
Mais il n Cn est plus de m«*'nie pour 1 énergie magnétique. Dans c<» cas non seulement 11 n'v a plus accord entre la formule donnée par Max\\('ll e1 celle donnée par Hertz, mais encore les tomes 1 et W du Trdilc iltissû/KC de Maxwell ne sont pas d'accind entre eux sur ce [)olnt.
Ainsi Maxwell dans le tome l dr son traité, (piand il s'occupe
ÉNERGIE MAGNÉTIQUE SSg
des aimants sans parler de courants, donne pour expression de Ténergie électromagnétique
(21) - / (Aa+Bfi+Cv) —
rintégration étant étendue à tous les éléments de volume d'z de l'espace.
Quand il s'occupe des courants il donne l'expression suivante,
Or, il est aisé de voir que ces deux expressions de Maxwell ne sont pas compatibles entre elles. En elFet, s'il n'y a pas de courants mais seulement des aimants, la deuxième expression de Maxwell est nulle. Plaçons-nous dans ce cas. On a donc,.
Or,
don
a = 7. -\- ^TzAy etc. ;
d'oi
(23) / iLVA
Or le premier membre de celte relation représente la première expression de l'énergie électromagnétique de Maxwell. On voit donc que ces deux expressions de Maxwell sont complètement inadmissibles.
i6o ELECTRObTyAMIQLE DES COMPS T.V MŒPOS
tiertz donne comme expression de l'énergie magnétique la formule saîvante.
On remarque facilement que cette expression est identique à l'expression '22^ de Maxwell quand il ny a pas de magnèiisnte permanent A^ = B^ = C^ ::^ O .
S'il nV a que du magnétisme permanent et pas de magnétisme induit ;^ = 1^ alors l'expression de Hertz se réduit à
expression identique à l'expression 'i\ de Maxwell (d'après la relation 2.'5< que nous venons d'établir .
305. — Adoptons l'expression de Hertz. Hertz donne comme expression d'énergie totale tant électrique que magnétique l'expression suivante,
/^fi-^'-'+i ^-'i ■■
(l'oii. en diflV'rcnliiiiit pîir rapport ii /,
lu-mi>lar(iiis dans celto rr-Ialion — ; — et — -. — par leurs valeurs ' dl dl *
lir«-<*s «les (-(luations '\) el 11 de Hertz p. M\(S et 35 1) il vient.
Y vpd-..
COSSERVATIOy DE L ÉNERGIE 36 1
Je dis que la première intégrale du second membre est nulle. En effet, remarquons que cette intégrale peut s'écrire,
/f Si «■-"?'
l'intégration étant étendue h Tespace tout entier.
D'autre part nous savons que, U étant une fonction quelconque, on a
car toutes nos fonctions s'annulent à l'infini et nos intégrales sont étendues à l'espace entier. On a donc,
rfj- = o ;
il en résulte que l'intégrale (27) et par conséquent la première intégrale du second membre de (26) est nulle. La relation (26) devient donc
Quelle est la signification de cette équation ? — Prenons l'axe des X parallèle à la direction du courant dans l'élément d-z et prenons pour élément de volume un petit cylindre de section di et de longueur rfS.
On a,
d'z = d'y dS^
la relation (28) peut donc s'écrire,
(29) ^=- I ypds.pd^,
562 ÉLECTRODYy.iMiqUE DES CORPS EX REPOS
Or P(/S exprime la force électromotrice ; désignons-la par E ; l'autre facteur pd^r exprime Tintensité du courant ; désignons par / cette intensité; la relation (29) devient donc finalement,
di i ^.
dt
Or E/ représente la chaleur de Joule ; le principe de la conservation de l'énergie est donc vérifié par les équations de Hertz. L'expression de Vcmergie magnétique de Hertz est donc la seule acceptable.
