ÉLEGTRODYNAMIQUE DES CORPS EN MOUVEMENT
Jusqu'à présent nous ne nous sommes occupé que des corps en repos : nos circuits ne se déplaçaient pas. Xoufr allons^cnviaager maintenant le cas des circuits en mouvement. L'étude des phénomènes qui se présentent dans ce cas constitue Télectrodynamique des corps en mouvement.
306- Dérivées par rapport an temps. — Désignons les composantes de la vitesse de la matière par E, r^, ^ et soit U la valeur d'une fonction en un point M (.r, f/, z] ; cherchons la dérivée par rapport au temp» de cette fonction.
Deux cas peuvent se présenter :
i" Le point M (.r, //, z) est fixe.
2*^ Le point M (.r, //, r) est entraîné dans le mouvement de la matière.
On aurii. par conséquent deux sortes de dérivées pur rapport au temps :
1° La dérivée de la fonction U en supposant M :.r, //, z) fixe ;
2*^ La dérivée de la fonction U en supposant que M^r. .y, z.) est entraîné dans le mouvement de la matière,
Dans le premier cas, la valeur de U au temps l-\-dl sera
df et, diins le second cas, elle sera U -\ — :— dl^ en dési-
Fig. iG.
(il
gnant par
(avec des () ronds) les dérivés d'une fonction par
rapport au temps quand le point (r, /y, z) est entraîné dans le mouvement de la matière ; — nous ferons usage de cette conven-
364 KLECTHODYSAMiqVE DES CORPS ES MOUVEMEST
lion toutes les fois qu'on aura à considérer des dérivées par rapport au temps.
Calculons maintenant celte dérivée -r--
Considérons donc un point M «.r, y, r^, successivement à Tépoque / et à Tépoque / -\- dt. Ce point étant entraîné dans le mouvement de la matière, ses coordonnées .r, y, z subissent des accroissements.
d.r = \dt^
df/ = r^dt,
dz = ÎJrf/,
et il vient alors pour valeur de cette dérivée
307. Induction dans un circuit en mouvement. — Considérons un vecteur quelconque (a, ^, •/), une surface S limitée par une courbe C et l'expression
(9.) 0= 1 ^ /arfco.
Proposons-nous d'évaluer la dérivée de cette expression par rapport au temps.
Pour fixor les idées supposons que le vecteur considéré soit la force rnafçnéticjue a, [j, v' ; Texpression (9.) représentera alors ce (jifon appelle le flux de force mii^iiéti([ue h travers la surface considérée.
il v a deux niaiiières d'envisaîrer la (luestion.
i" On peut supposer que la surface S reste fixe, et dans ce cas
la dérivée en ciuesticni s'écrit —, — avec des r/ ordinaires^' d'après
* dt / r
notre convention.
'A" On peut supposer, (ju'au contraire, la surface S, au lieu de rester fixe, s(» déplace, entraînée dans \o mouvenienl de la matière,
et vienn(» en S *. dans ce cas c osl la dérivée ——-avec des 0 ronds)
cju'il faut considérer.
CIRCUIT EX MOlVEMEyT
Je me propose d évaluer cette seconde dérivée -r- — . Quand /
augmente et rf/ et qu'en même temps la surface S est entraînée dans le mouvement de la matière et vient en S', 4> subit alors un accroissement représenté par
dt.
Cet accroissement peut être décomposé en trois parties distinctes. Soit S'' une surface annulaire qu'on peut faire passer par les
circuits CC, C'C qui limitent les surfaces S, S^ Les trois parties de Taccroissement sont :
1° I/accroissement subi pendant le temps dt par le llux qui traverse la surface S. Cet accroissement a pour valeur
dt.
2° Le flux qui traverse la surface annulaire S". Je désignerai par Oj<P cet accroissement ;
3° La différence entre le flux qui traverse 8+ S'' et le flux qui traverse S^ J'appellerai o^<I> cette différence.
On a donc,
Fig. 48.
Evaluons chaque terme du second membre séparément. D'abord, pour —.— , on a, en différentiant <I> par rapport
d^ HT
JGG
ICLECTHODYyAMlQVi: DES COUPS ES MOL VEMEST
Calculons muiiitciiniit o,^^.
Soit ce la courbe qui limite la surface S ; au bout du temps dt cette courbe vieut eu C'C et si nous considérons deux points PP, limitant un arc PP, sur la courbe C, au bout du temps dr cet arc viendra en P'P',.
Considérons le petit quadrilatère PP,P',P' formé par les deux arcs 1*P, et PP', et les deux petites droites PP', P^P',. Ce petit (^uadrilatère est assimilable à un parallélogramme. Appelons iho son aire et évaluons le flux de force magnéli(jue à travers cette aire. A cet eHet menons par les sommets du petit parallélogramme des droites P(^, ^Mi> f*'Q'> I^'iQ'i représentant la force magnéti(pie en grandeur et direction, et considérons le petit parallélipipède ainsi formé. Je dis que le volume de ce parai lélipipède représente le flux clierché. En edet
vol" du parai* = (ko X hauteur
c\ la hauteur c'est la composante normale de la force magnétique. ])ar construction.
Le calcul du (lux cherché se raiiiène donc au calcul du volume du parallélipède PP, i^'P', (H), (/(!',.
Evaluons ce volume. Observons à cet elVet que PP' c'est le chemin parcouru pendant le temps ii( par le point P ; les trois composantes <lr ce petit clirmin sont, en désignant par ;, Tj, T, les coinposaiilrs de la vitesse du point P ([ui est la même que la vilrssr (h' la nrilîérr , ç*"//, 7///, Idf.
!.«' v(»liim(' <ln |)arallélipipr'(h' en (piestion est donc
'f,dl
Ut
^dl
(Ix (h/ (iz
P(Hir avoir \v \'iru\ al(MS.
ux total il faut int/'grer cette expression, il
fit
CIRCUIT j:y MOi'VEAIEi\T
Développons le déterminant quifigure dans le second membre ; en désignant parX, Y, Z ses mineurs, il vient,
