D'A L G È B R E. III

pour un nombre a de jours , il aura ax y

pour un nombre h de jours , sa femme et son fils auront

by^ ainsi

aX'^byz:=zc',

pour un nombre d de jours , il aura d x ,

pour un nombre e de jours, sa femme et son fils auront

ey, ainsi

d X -^^ ey :=f:

voilà les deux équations générales de la question. On tire de la première

a multipliant cette valeur par d , pour la substituer à la place de x , dans la seconde équation , on aura

, cd — bdy

et X — — — — — ^— a et par conséquent

cd — bdy , /,

^--Z + ey=f.

En faisant disparaître les dénominateurs de cette équation , on obtiendra

c d — b dy -^ ae yz= af,

d'où l'on conclura successivement

a ey — b dy = af — c d,

af — cd

^ ae — bd'

Connaissant maintenant y , si l'on met sa valeur dans

celle de x , cette dernière sera connue ; on aura

^. . . , af—'cd

-m^ <wej . c — b -^ r-ï

ae — bd

Pour simplifier cette expression , il faut d'abord faire la

multiplication indiquée sur les quantités

, af — cd ,^^

b et -^ r-j, (53)

ae — 6rf ^ '

ce qui donne

••< ^bf — bcd

ae — bd

puis réduire c au dénominateur de la fraction qui l'accompagne , et effectuer la soustraction de cette frac-* tion (5i ) : il vient

ace — bcd — cibf-\- bcd ae — b d

ou en réduisant

-abf

(■•') Pour qu'il n'y ait aucun doute sur le sens de cette expression, il faut faire attention à la barre de division qui se trouve

placée dans le corps de la ligne. Ainsi , dans l'expression x = -— -,

-^représente le dividende, soit entier, soit fractionnaire, et B le diviseur, dans l'une et l'autre hypothèses. D'après cette con-

vention, l'expression x = -—-signifie que x est égal au quotient de la

fraction-^ divisée par B, et l'expression a: = -^ indique pour x le

quotient de ^divisé par la fraction -j^\ enfin on a, par l'expression

A x-=.—jt , le quotient de la fraction --^ divisée par la fraction -jr-

Ces remarques font sentir la nécessité de placer les barres conformément au résultat qu'on se propose d'indiquer.

D* A L G È B R E. Il3

En efFectiiant la division par a ( 53 ) , on trouvera ace — o.bf ^ ~~ a^e—abd * et en supprimant le facteur a, commun au numérateur et au dénominateur ( 38 ) , on aura enfin

ae — bd Les valeurs

ce — bf af — cd

ae — bd^ -^ ae — bd* s'appliquent de la même manière que celles qu'on a trouvées ci-dessus , pour des équations littérales à une seule inconnue : on y substitue au lieu des lettres les nombres particuliers à l'exemple qu'on a choisi.

On obtiendra les résultats du n° 56 , en faisant

d=z 8, e=:5, f—5o, et ceux du n° 58 , en faisant '*'"

77. Les valeurs de x et de y ne conviennent pas seulement à la question proposée : elles s'étendent à toutes celles qui conduisent à deux équations du premier degré à deux inconnues • car il est visible que ces équations sont nécessairement comprises dans les formules

dx -^ ey=f, pourvu qu'on entende par les lettres « , è , c? et e , l'ensemble des quantités données qui multiplient respectivement les inconnues x et y , et par les lettres c etf, l'ensemble des termes tout connus , passés dans le second membre.

Elém. d'Algèbre. 14® édition. 8

Il4 É L i M E N s

De la résolution d'un nombre quelconque adéquations du premier degré y renfermant un pareil nombre d'inconnues.

78. Lorsqu'une question renferme autant de conditions distinctes qu'elle contient d'inconnues , chacune de ces conditions fournit une équation , dans laquelle il arrive souvent que les inconnues sont mêlées entre elles, comme on l'a \ti déjà sur des problèmes à deux inconnues ; mais si ces inconnues ne sont qu'au premier degré , on peut, ainsi qu'on l'a fait dans les numéros précédens, prendre dans l'une des équations la valeur de l'une des inconnues , comme si tout le reste était connu , et substituer cette valeur dans toutes les autres équations y qui ne contiendront plus après cela que les autres inconnues. Cette opération , par laquelle on chasse une des inconnues, se nomme élimination. Par son moyen, si l'on a trois équations à trois inconnues, on endéduira deux équations à deux inconnues, qu'on traitera comme on a fait ci-dessus; et ayant obtenu les valeurs des deux dernières inconnues , on les substituera dans l'expression de la première . Si l'on a quatre équations à quatre inconnues , on en déduira en premier lieu trois équations à trois inconnues , qu'on traitera comme il vient d'être dit ; puis ayant trouvé les valeurs des trois inconnues, on les substituera dans l'expression de la première, et ainsi de suite.

Voici pour exemple une question qui renferme trois inconnues et trois équations.

79. On a acheté séparément les charges de trois vni-^ turcs .* la première , qui contenait 3o mesures de seigle , 20 d'orge et 10 de froment, a coûte 2.3o francs ;

La seconde, qui contenait i5 mesures de seigle, 6 d'orge et 12. de froment , a coûté iZ^ francs ;

La troisième y qui contenait 10 mesures de [seigle , 5 d^arge et 4 de froment, a coûté y 5 francs;

D' A L G È B R E. Il5

On demande à combien revient la mesure de seigle , celle d'orge et celle de froment 7 Soit X le prix de la mesure de seigle , y celui de la mesure d'orge , z celui de la mesure de froment.

Pour remplir la première condition, on observera que 3o mesures de seigle vaudront 3o x , 20 mesures d'orge vaudront 20 j,

1 o mesures de froment vaudront 10 z\ et le tout devant faire 23o francs, on aura l'équation "60 X -\- 2.0 y -^ 102 = 23o :

Pour la seconde condition, on aura

1 5 mesures de seigle qui vaudront 1 5 x , 6 d'orge ^y »

12 de froment 12 z,

et par conséquent

Pour la troisième condition on aura

10 mesures de seigle qui vaudront 10 x , 5 d'orge 5 y ,

4 de froment 4 ^ >

et par conséquent

10 X -{- S y -{- 4 z ^=z jS.

La question proposée sera donc ramenée aux trois équations

3o a: -|- 20 ^ -f- 10 2, = 23o , i5a:+ 6jy -f- 12 2= i38, 10 a; 4- 5^+ 4^^= 7^- Avant d'en entreprendre la résolution, j'examine s'il n'est pas possible de les simplifier , en divisant par un même nombre les deux membres de quelqu'une (12) ; et je vois qu'on peut diviser tous les termes de la première par 10, et tous ceux de la seconde par 3 : en

effectuant ces divisions , je n*ai plus à m'occuper que des équations

ioa:4- 5 y -^ 4 ^ =76.

Pouvant choisir l'une quelconque des inconnues pour en tirer la valeur , je prends celle de z dans la première équation , parce que cette inconnue n'ayant point de coefficient , sa valeur sera une quantité sans diviseur , ou entière ; il vient

z, rr: 23 — 3 a? — 2 y.

En mettant cette valeur dans la seconde et la troisième équation , on les change en

5 a: -f- zy -{-92 — iz x — S y =: 46, 10 X -\- S y -{- ^2 — 1207 — 8^= 76; et réduisant leur premier membre , on trouve g2 — 7 a: — 6j' = 46 , 32 — 2 07 — 3 y = 76.

Pour traiter ces équations , qui ne renferment plus que deux inconnues , je prends dans la première la valeur de l'inconnue y ; j'obtiens

et par la substitution de cette valeur, la seconde équation devient

„ AG 7 07 r-

92 — 207— -SX^^— g-^— =7^-

Je pourrais faire évanouir le dénominateur 6 par la méthode ordinaire , mais j'observe que ce dénominateur étant divisible par 3, peut se simplifier en effectuant sur la

fraction ^ T^^ > îa multiplication par 3 , conformément au n" 54 de VJrîthm, ; j'ai par ce moyen