T) OC

7»: p : : o:: la 3^ partie =-— ; '^ ^ m

et réunissant les trois parties , il faudrait trouver le nombre à partager : on aura donc l'équation

. nx , p X

En réduisant tous ses termes au dénominateur m, elle deviendra

mx-]-nx-\-px-=:amy

et on en tirera

i am

Ce résultat n'est que la traduction algébrique de la règle de société {Arithm. 124) ; car en regardant les nombres m, n, p, comme désignant les mises des marchands, m-^-n-^p est la mise totale, a le bénéfice à partager , et l'expression

X = ; ; — indique ou une part s'obtient en multi-

pliant la mise correspondante par le bénéfice total , et

en divisant le produit par la somme des mises , ce qui revient à la proportion

la mise totale l une mise particulière 1 1 le gain total l au gain particulier.

i5. La formation de l'équation du problème suivant exige des observations particulières qui ne se sont pas encore présentées.

Un pêcheur , afin d'encourager sonjlls, lui promet 5 centimes par chaque coup de filet dans lequel il aura pris du poisson, mais aussi il remettra à son père 5 centimes pour chaque coup infructueux. Après lo. coups de filet , le père et le fils règlent leur compte. Le premier doit au second Q,^ centimes. Comhieny a-t-ileu de coups de filet heureux ?

Si l'on représente le nombre de ces coups par x , le nombre des coups infructueux sera 12 — x) et si ces nombres étaient donnés , on les vérifierait en multipliant 5 centimes par le premier, pour obtenir ce que le père doit donner au fils , et 3 centimes par le second , pour avoir ce que le fils doit remettre au père : le premier nombre devrait surpasser le second des 28 centimes que le père doit à son fils.

On aura pour le premier nombre , x de fois 5 centimes ou Sx. A l'égard du second nombre , il se présente une difficulté : comment obtenir le produit de 5 par 12 ' — x^ Si , au lieu de or, il y avait un nombre donné , on effectuerait d'abord la soustraction indiquée, puis on multiplierait 5, par le reste ; mais pour le moment la chose n'est pas possible, et il faut tâcher d'effectuer la multiplication avant la soustraction , ou au ilioins'de ramener le résultat à un ensemble de termes algébriques semblables à ceux que contiennent les équations qu'on sait résoudre.

Avec un peu d'attention , on voit qu'en prenant 12 fois

D A li G E B R p. 29

le nombre 3 , on répète 3 autant de fois de trop qu'il y a d'unités dans le nombre x , dont on aurait dû préalablement diminuer le multiplicateur 12 , en sorte que le véritable produit sera

36 diminué de 3 pris x fois ou de 3 x , ou 36 — 3 07.

Cette conclusion peut se vérifier facilement , en donnant à X des valeurs numériques. Si, par exemple , x était égal à 8 , on aurait 3 à prendre 12 fois — 8 fois , et si on négligeait — 8 fois , on mettrait dans le résultat 8 fois de trop le nombre 3 ; le vrai produit serait donc

Ce résultat s'accorde avec celui qu'on obtiendrait en retranchant d'abord 8 de 12 ; car

12— .8 = 4 et 3X4 = 12.

Cela posé , puisque l'argent dû par le père à son fils est exprimé par 6x , et que celui que le fils doit à son père est exprimé par 36 — 3x , il faut que le second nombre retranché du premier, donne pour reste 28; mais encore ici nouvelle difficulté : comment retrancher 36 — 3a7 de Sx, sans avoir soustrait d'abord 3x" de 36 ?

On élude cette difficulté en observant que si l'on négligeait le terme — 5x , et qu'on retranchât de 5 a; le nombre 36 tout entier , on aurait nécessairement ôté 3 x de trop , puisque ce n'est qu'après avoir diminué 36 do 'Sx, qu'il faut le retrancher de 5x. Ainsi, la différence 5a: — 36 doit être augmentée de 3.r pour former la quantité qui doit rester après qu'on a ôté de 5 x^ le nombre exprimé par 36 — 'Sx : cette quantité sera donc

et on aura l'équation

3o ÉLÉMENS

qui revient successivement à

Il y a donc eu 8 coups de filet heureux et 4 d'infructueux.

En effet, 8 coups à 5 centimes, donnent4o centimes, 4 coups à 3 donnent 12

différence 28

comme fexige l'énoncé de la question.

Si on voulait rendre la solution générale , on représenterait par a la somme que le père donne à son fils pour chaque coup de filet heureux, par b celle que le fils rend à son père pour chaque coup de filet infructueux , par c le nombre total de coups de filet , et par d ce que le père doit à son fils après ce nombre de coups. En désignant toujours par x le nombre de coups heureux , c — X serait celui des coupo infructueux ; chaque coup de la première espèce valant au fils une somme a, a: coups vaudraient ay,xou ax y et les coups infructueux vaudraient au père la somme b , multipliée par le nombre c — X.

Le raisonnement par lequel on a trouvé les parties dont se compose le produit de 3 par 12 — x ^ s'applique également au cas général. Si on néglige d'abord — x pour former le produit Z>c , de Z> par c tout entier , la somme b sera répétée x fois de trop , et par conséquent le véritable produit sera bc — bx.

Pour retrancher ce produit de la somme ax, il faut observer aussi , comme dans l'exemple numérique , que si on retranchait la quantité Z>c toute entière, on ôterait de trop la quantité bx dont la première doit être diminuée d'abord ; et que par conséquent le véritable reste n'est pas seulement ax — b c y mais ax — bc'\-bx.

d'algèbue. 3i

Cette somme devant être égale à d , Inéquation du problème sera

ax — h c-\~bx-=.d , et donnera

ax-j- bxr=.d*^hc ^

Cette formule générale indiquant quelles opérations il faut faire sur les nombres donnés cr, ô, c ^d, pour obtenir l'inconnue x, on peut ou la traduire en règle, ou bien y écrire à la place des lettres a, b, c, d, les nombres donnés; le dernier procédé est ce qu'on appelle substituer les valeurs des données, ou mettre la formule en nombres. En y appliquant ceux de l'exemple ci-dessus , il vient

q8 + 5Xi2 '^-' 5 + 3 '

et en effectuant les opérations indiquées , on a, comme plus haut,

Méthodes pour effectuer , autant qu'il est possible, les opérations indiquées sur les quantités représentées par des lettres.

i6. La question précédente a fait voir qu'il fallait, dans certains cas, décomposer enmultiplicationspartielles une multiplication indiquée sur la somme ou la différence de plusieurs quantités ; et dans le numéro 1 1 , on a fait précisément le contraire , en décomposant la quantité ax — bx-\-cx ^ qui représente le résultat de plusieurs multiplications suivies d'additions et de soustractions, dans les deux facteurs a — è+c et x, qui n'indiquent qu'une seule multiplication précédée d'addition

et de soustraction. Les raisonnemens dont on s'est servi dans ces deux circonstances , peuvent être réduits en règles; et il en résultera, sur lesquantités représentées par des lettres , des opérations qu'on a appelées multiplication et division algébriques, par l'analogie qu elles ont avec les opérations de l'Arithmétique qui portent les mêmes noms.

On a conçu par la même analogie deux opérations algébriques qui portent les noms à' addition et de soustraction , et dans lesquelles on a pour but de réunir en une seule plusieurs expressions algébriques, ou de les retrancher l'une de l'autre; mais ces opérations, comme les précédentes , diffèrent de celles de l'Arithmétique , en ce que leurs résultats, n'étant le plus souvent que des indications d'opérations à effectuer , ne présentent qu'une transformation des opérations primitivement indiquées, en d'autres qui produisent le même effet. Il arrive seulement, ou qu'on simplifie les expressions, ou qu'on leur donne une forme propre à manifester les conditions qu'il faut remplir.

Pour expliquer ces opérations, on appelle quantités monômes ou simplement monômes , celles qui n'ont qu'un seul terme , comme -f-2fl ,—'3ab, etc.; binom.es celles qui en ont deux, comme a-\~b,a — b, 6a — 2x, etc.; trmome^ celles qui en ont trois, quadrinomes celles qui en ont quatre, et en général polynômes les quantités composées de plusieurs termes. Il est bon d'observer qu'on appelle aussi les monômes quantités incomplexes , et les polynômes quantités complexes.

De r addition des quantités algébriques.

ij. L'addition des quantités monômes se fait en les joignant par le signe -j- ; c'est ainsi que b ajouté ayec a s indique par a -iç-b. Mais lorsqu'on se propose d'ajouter

ensemble des expressions algébriques , on a en même temps pour but de simplifier le résultat, en le réduisant au plus petit nombre de termes possible, parla réunion de plusieurs de ces termes en un seul.

Cette réunion est celle qui a été effectuée dans les numéros 2 et 5, en réduisant la quantité x-f-x SL 2x y la quantité x-j- a: -|- x à 3x. Elle ne peut avoir lieu qu'à l'égard des quantités exprimées par les mêmes lettres, et qu'on appelle pour cette raison quantités semblables. On regarde la quantité littérale comme une umté qui se trouve répétée un certain nombre de fois ; c'est ainsi que les quantités 2à et 3a , considérées comme deux et trois unités d'une espèce particulière, forment, par leur addition, 5 a, ou 5 unités de même espèce. De même, /^ab et Sab forment gaZ».

Dans ce cas, l'addition s'opère sur les chiffres qui précèdent la quantité littérale, et qui indiquent combien de fois elle est répétée. Ces chiffres se nomment coefficiens. Le coefficient est donc le multiplicateur de la quantité devant laquelle il est placé ; et il faut se rappeler que lorsqu'il n'est pas écrit , il est égal à l'unité ; car la est la même chose que a.

18. Lorsqu'il s'agit de réunir des quantités quelconques , comme

4 a -f- 5Z> et 2 c + 3d,

le total doit être évidemment composé de toutes les parties ajoutées ensemble -, il faut donc écrire

4rt -|- 5^ -}- 2c -f 3c?.

Si l'on avait au contraire

4a -f-5Z> et 2c — 3c?,

il faudrait, dans la somme, écrire avec le signe — , ou

indiquer comme soustractive, la quantité 3c?, qui, devant

être retranchée de 2c, diminuerait nécessairement d'au-

Elém. d'Algèbre. i4« édition. 3

tant la somme qu'on formerait en réunissant qc avec la première des quantités proposées ; et l'on aurait 4a-f5Z»-|-2c— 3rf.

Ces deux exemples font voir que l'addition algébrique des polynômes s'effectue en écrivant à la suite les unes des autres , avec leurs signes , les quantités qu'il faut ajouter, et en observant que les termes qui ne sont précédés d'aucun signe , sont censés avoir le signe -}»-.

L'opération ci-dessus n'est, à proprement parler, qu'une indication par laquelle la réunion de deux quantités complexes est ramenée à l'addition et à la soustraction d'un certain nombre de quantités monômes ; mais si les expressions à ajouter contenaient des termes semblables , on pourrait réunir ces termes en opérant immédiatement sur leurs coefficiens.

Soient, pour exemple , les expressions 4a ••{- ^b -^ Q c j Q a — 3c-f-4^,

Ya. somme indiquée sera , d'après la règle précédente , 4a-}-^b — 2c-^Q.a — 3 c -f 4^"h 7^ + ^ — ^• Mais les termes 4 a et -|- 2.a étant formés de quantités femblablea, se réunissent en un seul égal à Sa. De même les termes +9^, '\-7 b , donnent i6Z>. Les termes — 2C et — 3c , tous deux soustractifs , produisent dans le total le même effet que la soustraction d'une quantité égale à leur somme , c'est-à-dire que la soustraction de 5c ; et comme , en vertu du terme -|-c, on aura d'une autre part à ajouter c , il restera seulement à retrancher 4c.

La somme des expressions proposées sera donc ramenée à '.

D*AliGÈBRE. 35

19. La dernière opération pratiquée ci-dessus, et par laquelle on réunit tous les termes semblables en un seul , quelque signe qu'ils aient , se nomme la réduction. Elle s'effectue en faisant lasommedes quantités semblables affectées du signe -{-, celle des quantités semblables affectées du signe — ; puis en retranchant la plus petite de ces deux sommes de la plus grande , et donnant au resté lèsi^îïè de la plus grande.

Il est à remarquer que la réduction s'applique à toutes les opérations algébriques.

Voici , pouf exercer le lecteur , quelques exemples d'additions avec leurs résultats.

1°. Ajouter les quantités

Sp — 4^+ 8/2 11 n — Q.b — m — r -{■ s

résultat 7m-{-3/i — i4p+ i/r+Sa + gTx — iim-far

4-5p — 4^^+ STi + iin — Q.b — m— r + ^. Faisant la réduction, cette quantité se changé éii celle-ci

— 9m-}-3i7i — 9/7-|~i8r-4-3a — 2Ô-|-^, ou 3i n. — 9771 — 9p-{- i8r-f-3a — 2 è-|-^, en commençant par un terme qui ait le signe -f-. 2"*. Ajouter les quantités

iibc'\~4^d — Sac-f-Scc?

%ac -\"jb c — 2 ad'\'^m,n 2cd — ^ab-^Sac-^-qn 90571 — 2 bc — 2 ad-^5cd

résultat iièc-j-4ac?— Bac-f 5c£/-f-8ac-|-7Z>c— 2arf -f-4"^"+2cc? — 5ab-\-6ac-\~ an -^^an — Qbc — 2ad'^5cd.

En réduisant cette quantité, elle devient

i6èc-f 5ac-f- i.2é^4-4m^ — 3 ab 4- 10 an.

De la soustraction des quantités algébriques.

20. La soustraction des monômes s'indique, ainsi qu'on en est convenu , en plaçant le signe — entre la quantité à soustraire et celle dont on la soustrait.

b soustrait de a, s'écrit par a — b.

Lorsque les quantités sont semblables, la soustraction s'opère immédiatement sur les coefïiciens.

Si de 5a on retranche 3a, il vient pour reste 2a.

A l'égard de la soustraction des polynômes, il faut distinguer deux cas. i". Si la quantité à soustraire a tous ses termes affectés du signe + y ^ f^"* évidemment leur donner le signe — , puisqu'on doit retrancher successivement toutes les parties de la quantité à soustraire.

Si, par exemple, de 5a — 9Ô + 2C, on veut ôter 2c? -f- 3e + 4/» il faudra écrire

2°. Si la quantité à soustraire a des termes affectés du signe — , il faut leur donner le signe -f-. En effet, si de la quantité a, on voulait ôter b — c, et qu'on écrivît d'abord a — Z> , on aurait diminué ainsi a de la quantité b tout entière ; mais la soustraction ne devrait s'effectuer qu'après avoir diminué préalablement b de la quantité c : on a donc ôté de trop cette dernière quantité, qu'il faut par conséquent restituer avec le signe +, ce qui donnera pour le vrai résultat , a — b -^-c.

Ce raisonnement , qu'on peut appliquer à tous les cas semblables , montre que le signe — ■ de ca dû être changé en -4- ; et en rapprochant ce résultat du précédent, on conclura que la soustraction des quantités algébriques s effectue en écrivant y à la suite de la quantité dont on veut

d'algèbre. Sy

soustraire une autre ^ cette autre , après en avoir chano-é les signes -|- en — , et les signes — en -f--

Lorsqu'on a écrit le résultat que donne d'abord la règl^ énoncée plus haut, on y fait, s'il y a lieu , des réductions conformes au précepte du numéro 19, ainsi qu'on le voit dans les exemples suivans :

1®. Soustraire de 1 7 a -f- Q 771 — 96 — 4^4-23^;^ la quantité 5i a — 2yb-\-i ic — 4^-

Résultat 170-4-2771 — 3 b — 4^~h^^^

Opérant la réduction , cette quantité devient

— 34a-l-27n-f-i86 — i5c-f-27r?, ou bien

2771 34 Û5 -|-l86 iS C -^ Q.J d.

2°. Soustraire de Sac — %ab-\^^b c — ^ani laquantité 8a77i — ^ab -f-riac — y cd.

Résultat bac — ^ah-\-^ bc — 4<^m

— 8fl7n-|-2 ab — Il ac-\-'jcd.

Opérant la réduction , il vient

— ^ac — Qab^^bc — 12 a77i-f-7 cJ, ou ^bc — ^ac — Qab — i'2aTn'-\~j cd.

De la multiplication des quantités algébriques.

21. Tant qu'on n'envisage dans les lettres que les valeurs numériques des quantités dont elles tiennent ïa. place , on doit se former de la multiplication algébrique la même idée que de la multiplication arithmétique {^Arithm. 21, J/^^. Ainsi, multiplier a. par h y c'est composer avec la quantité représentée par a, une autre quantité y delà même manière que la quantité représentée par b Vest avec Vunité.

On a déjà fait connaître dans les numéros 2 et 7 , les

signes dont on est convenu pour indiquer la multiplication ; et le produit de a par b s'écrirait en conséquence soit par a X ^ > ou par a . è, ou enfin par ah.

On a le plus souvent besoin d'indiquer plusieurs multiplications successives , comme celle de a par h , puis du produit a h par c , puis de ce dernier produit par d , et ainsi de suite. Daiis ce cas il est évident que le dernier résultat est un nombre ayant i^Qur facteur^ les ppmbres a,b^ Cjd {Arithm. 22) ; et , en généralisant la dernière des conventions rappelées ci-dessus , on indique ce produit en écrivant à la suite l'un de l'autre, et sans aucune interposition de signe j les facteurs dont il est formé; on a de cette manière l'expression abc d.

Réciproquement , toute expression telle que ab cd, formée de plusieurs lettres écrites immédiatement à la suite les unes des autres , désigne toujours le produit des nombres représentés par ces lettres.

J'ai déjà fait tacitement usage de ces conventions , dans lesquelles les coefiiciens numériques sont aussi compris , puisqu'ils sont évidemment facteurs de la quantité proposée. En effet, 1 5 aZ>crf, désignant la quantité abcd prise 1 5 fois , exprime aussi le produit des cinq facteurs 1 5 , a , b , c , d.

22. Il suit de là que pour indiquer la multiplication de plusieurs monômes, tels que 4 a Z> c , 5 c? ef, 5mn,i\ faut écrire ces quantités à la suite les unes des autres , çai^s interposition de signe , et il viendra

4ab c5 d efS m n ; mais comme on a fait voir en ^ritlimétic^ue, n° 70, ^u'on pouvait intervertir comme or^ voulait l'ordre des facteurs d'un produit, sans que la valeur de ce proc^uit changeât, on profite de cette circonstance pour rapprocher les facteurs numériques , dont la multiplication peut s'effectuer par les règles de l'Arithmétique : on

d' A li G E B R 13. 3û

conçoit donc le produit comme indiqué dans l'ordre 4.5.5abcd efm n ; et effectuant la multiplication des nombres 4, 5 , 3 , on aura seulement 6o ab cdefm n (^*).

a3. L'expression d'un produit s'abrège beaucoup lorsqu'il contient des facteurs égaux. Au lieu d'écrire plusieurs fois de suite la lettre qui représente un de ce* facteurs , on ne la met qu'une fois, et on marqua par un nombre combien de fois elle aurait dû être écrite comme facteur; mais parce que ce nombre indique des multiplications successives, il doit être soigneusement distingué du coefficient , qui n'indique que des additions • c'est pourquoi on le place à la droite de la lettre , et un peu au-dessus , tandis que le coefficient est toujours écrit à la gauche de la lettre et sur la même ligne.

D'après cette convention , le produit de a par a , qui serait indiqué, suivant le numéro 21 , par aa , devient a^. Le 2 supérieur marque que le nombre désigné par la lettre a est deux fois facteur dans l'expression proposée , qu'il ne faut par conséquent pas confondre avec 2 a , qui n'est que l'abréviation de a-|- a. Pour bien sentir l'erreur que l'on commettrait en prenant l'une pour l'autre , il suffit de substituer des nombres aux lettres. Si l'on avait, par exemple, a = 5, 2a deviendrait 2.5 = 10, et tt^ = aXar=5.5 — 25.

En continuant cette marche , on verra que pour dési-

(*) L'usage des symboles algëbricj'ues abrégeant beaucoup la de'monsiration de cette proposition , j'ai cru devoir la rappeler ici an moyen de ces symboles.

Si l'on e'crit le produit abc Je/" comme il suit i abc X de X/» et qu'on change l'ordre des deux facteurs du produit de pour avoir ed{Arithm .27), il viendra al^c X edy(,/on abcedf- li est évident (ju'on pounajparde nonvelle& décomposition*, arne3aer, tel çkangement qu'on voudra dans Votika des facteuï*. (J« produit pw

40 ^ li li M E N s

gner un produit dans lequel a serait trois fois facteur , il faudrait écrire a^, au lieu de a a a; de même a^ équivalent de aaaaa, représente un produit dans lequel a est cinq fois facteur.

24. Les produits formés ainsi par des multiplications successives d'une quantité, sont appelés en général puwsances de cette quantité.

La quantité elle-même , ou a, se nomme la première puissance.

La quantité multipliée par elle-même , ou a a , ou bien a* , est la seconde puissance , qu'on appelle aussi le quarré,

La quantité multipliée deux fois de suite par ellemême, ou a aa y ou bien a^, est la troisième puissance, qu'on appelle aussi cube (^).

En général , une puissance quelconque se désigne par le nombre de facteurs égaux dont elle est formée : a^ ou bien aaaaaj est la cinquième ■puïssa.nce de a.

Pour montrer l'application de ces dénominations , je prendrai le nombre 3 , et j'aurai

i'^ puissance 3

etc.

Le nombre qui marque la puissance d'un autre se nomme exposant de cet autre.

(*) Les dénominations de quarré et de cube, tenant h des considérations géométriques, et rompant Tuniformité dans la nomenclature de produits formes par des facteurs égaux , sont très impropres en Algèbre i mais ou les emploie fréquemment à cause de leur brièveté.

d' a L g È B II E. 4^

L'exposant, lorsqu'il est égal à l'unité , ne s'écrit point : a est la même chose que a^

On voit par ce qui précède , que , pour former une puissance d'un nombre , il faut multiplier ce nombre par lui-même une fois de moins quil n'y a d'unités dans l'exposant de la puissance.

25. Puisque l'exposant marque le nombre de facteurs égaux qui forment l'expression dont il fait partie , et que le produit de deux quantités doit avoir pour facteurs tous ceux qui forment chacune de ces quantités , il s'ensuit que l'expression a^, dans laquelle a est 5 fois facteur , multipliée par l'expression a^, dans laquelle a est 3 fois facteur , doit donner un produit dans lequel a soit 8 fois facteur, par conséquent exprimé par a^, et qu'en général le produit de deux puissances du même nombre doit avoir pour exposant la somme de ceux du multiplicande et du multiplicateur.

26. Il suit de là que lorsque deux monômes ont des lettres communes , on peut abréger l'expression du produit de ces quantités , en ajoutant tout de suite les exposans des lettres semblables du multiplicande et du multiplicateur.

Par exemple , l'expression du produit des quantités a^ ¥ c et a^ b^ c^ d, qui serait a^ P c a^b^c"" d, suivant les conventions du numéro 21 , s'abrège en assemblant les facteurs désignés par la même lettre, ce qui donne

a^ a^ b^b^ cc^d, d'où l'on conclut

a^ b' c^ d, en écrivant

a^ au lieu de a^ a^ y b^ au lieu de b^ b^ , c^ au lieu de c c^ ou de c' c^.

orj. De même qu'on distingue !es puissances par le nombre de facteurs égaux dont elles sont formées , on classe aussi les produits quelconques par le nombre des facteurs simples ou premiers qui les forment -, et je donnerai à ces classes le nom de degrés. Le produit a* P c sera, par exemple, du 6^ degré, parce qu'il renferme 6 facteurs simples , savoir : 2 facteurs a, 3 facteurs b et 1 facteur c. Il est évident que les facteurs a,b etc, regardés ici comme premiers , ne le sont qu*eu égard à l'Algèbre , qui ne permet pas de les décomposer ; mai» ils peuvent représenter d'ailleurs des nombres composés : il ne s'agit ici que de leur état général (*).

Les coelïiciens exprimés en nombres ne comptent point dans l'estimation du degré des quantitésalgébriquesi on n'a égard qu'aux lettres.

Il est évident (21 , aâ) que lorsqu'on multiplie deux monômes l'un par l'autre, le nombre qui marque le degré du produit est la somme de ceux qui marquent le degré de chacun de ces monômes.

a8. La multiplication des quantités complexes se ramène à celle des quantités monômes, en considérant à part chaque terme du multiplicande et du multiplicateur, de même qu'en Arithmétique , on opère en particulier sur chaque chiffre des nombres qu'on se propose de multiplier {Arithm. 33) ; la réunion des produits par^.

(*) Par une suite de l'analogie indicjue'e dans la note de la page 40, on appelle communément ^//nsni/o/i5 ce que je nomme degrés. L'expression rapportée ci-dessus aurait, dans le langage ordinaire, 6 dimensions. Cet exemple prouve bien l'absurdité de l'ancienne nomenclature, établie sur ce que les produits de 3 ou de 3 facteurs mesurent les aires des surfaces et les volumes des corp? , qui ont deux ou trois dimensions j mais passé ce terme, la correspondance entre le» expressions algébriques et les figures géométriques cesse, puisque l'étendue ne peut avoir plus d<i trois dimensions.

d'algèbre. 43

tiels compose le produit total : mais l'Algèbre présente une circonstance qui ne se trouve pas dans les nombres. Ceux - ci n'ont point de termes à retrancher , ou de parties soustractiyes ; les unités , dixaines , centaines, etc. qui les forment, sont toujours censées ajoutées entre elles, et alors il est bien évident que le produit total doit se former de la somme des produits de chaque partie du multiplicande par chaque partie du multiplicateur.

Il en est de même Iprsqu il s'agit des expressions littérales doi^t tous \ps terraes sont assemblés par le signe -f-.

Le produit de a -{- b inultiplié jj^r c

est '• ' a c-t-Z> c, •

et s'obtient en multipliant chaque partie du multiplicande par le multiplicateur , et en ajoutant les deux produits partiels ac et b c. Si le multiplicande contenait plus de deux parties , l'opération serait toujours la même.

Lorsque le multiplicateur est la somme de plusieurs termes, il est visible que le produit se compose de la somme des produits du multiplicande par chaque terme du multiplicateur.

Le produit de a -f- ^ multiplié par c -f- c?

f ac^bc ""'^X + ad^bd', car en multipliant d'abord « -f- è par c , on obtient ac-j- bc, puis en multipliant a-{- b parle second terme d du multiplicateur, on trouve a d"\-bd, et la somme de ces deux résultats donne « c -f è c -f a d-^ b d pour le produit total.