Lorsque le multiplicande contient des parties

soustractives , les produits de ces parties par le multiplicateur doivent être retranchés des autres, c'est-à-dire affectés du signe — . Par exemple ,

le produit de a — b multiplié par c

est ac — bc;

car chaque fois qu'on prendra tout entière la quantité a, qui aurait dû être diminuée de b avant la multiplication, on prendra de trop la quantité b ; le produit a c, dans lequel a tout entier est pris autant de fois que le marque le nombre c, surpassera par conséquent le produit cherché de la quantité b , prise autant de fois que le marque le nombre c , ou du produit Z> c : il faudra donc retrancher ôc de ac, ce qui donnera, comme ci-dessus,

ac — bc.

Le même raisonnement s'appliquerait à chacune des parties soustractives du multiplicande , quel qu'en fut le nombre , et quel que fût celui des termes du multiplicateur, pourvu qu'ils fussent tous affectés du signe +. En observant que les termes qui n'ont pas de signe sont censés avoir le signe -f- , on voit par ces exemples que les termes du multiplicande affectés du signe -|- , donnent un produit partiel affecté du signe -f-, tandis que ceux qui sont affectés du signe — , en donnent un affecté du signe — . Il suit de là que lorsque le multiplicateur partiel a le signe -\- , le produit partiel a le même signe que le multiplicande partiel.

3o. Le contraire alieuquandle multiplicateur contient des parties soustractives ; les produits formés par ces parties doivent être pris avec un signe contraire à celui qu'ils auraient , d'après la règle précédente. On s'en convainc^ra par l'exemple suivant. '

Soit le multiplicande a — b le multiplicateur c — d

ac — bc

, . ( ac — oc

le prodmt sera {„^^j^.

car le produit du multiplicande par le premier terme c du multiplicateur sera, par l'exemple précédent^ ac — bc, mais en prenant c tout entier pour multiplicateur , au lieu de c diminué de d, on prend la quantité a — b autant de fois de trop que le marque le nombre d; ainsi , le produit ac — b c surpasse celui qu'on cherche, du produit de a — Z> par d. Or ce dernier est , par ce qui précède, ad — b d; et pour le retrancher du premier, il faut en changer les signes (20) : on aura donc ac -^ b c — a d-\- b d pour le résultat demandé.

3i. En résumant les conséquences des exemples cidessus, on en conclura que la multiplication des polynômes s^ effectue en multipliant successivement , selon les règles données pour les monômes (n°* 2 1 — 26) , tous les termes du multiplicande par chaqueterme du multiplicateur, et en observant que si le multiplicateur partiel a le signe -f- , le produit partiel doit avoir le même signe que le multiplicande partiel , et le signe contraire , si le multiplicateur partiel a le signe — .

Si l'on développe les différens cas de cette dernière règle , on trouvera ,

1°. Qu'un terme ayant le signe + , multiplié par un terme ayant le signe -|-, donne un produit qui a le signe -j- ;

2°. Qu'un terme ayant le signe — , multiplié par un terme ayant le signe -|- , donne un produit qui a le signe — 'j

3°. Qu'un terme ayant le signe -f-, multiplié par un terme ayant le signe — , donne un produit qui a le signe — ;

46 élémens

4*^. Qu'un terme ayant le signe — , multiplié par un terme ayant le signe — , donne un produit qui a le signe +.

Ce tableau fait voir que lorsque le multiplicande et le multiplicateur partiels ont le même signe , le produit a le signe -f-, et que s'ils ont des signes differens, le prO'duit a le signe — .

Afin de faciliter la pratique de la multiplication des polynômes , voici la récapitulation des règles qu'il faut suivre dans cette opération.

1°. Déterminer le signe de chaque produit partiel^ d'après la règle ci-dessus .* c'est la règle des signes.

2°. Former le coefficient , en faisant le produit de ceux du multiplicande et du multiplicateur partiels ( 22) .• c'est la règle des coefïiciens.

3°. Ecrire à la suite les unes des autres toutes les lettres différentes , contenues dans le multiplicande et dans le multiplicateur partiels (^2i) : c'est la règle des lettres.

4®. Donner aux lettres communes au multiplicande et au multiplicateur partiels , un exposant égal à la somme de ceux qu'elles ont dans ce multiplicande et dans ce multiplicateur (26) .• c'est la règle des exposans.

32. Xj'exemple ci-dessous offre l'application de toutes ces règles.

Multiplicande 5 a^ — 2 a^ h -f-4 et* b* Multiplicateur a^-^/^ a* 6+2 b^

-.,.(• 5a7-^2a^b'\-4aH^

P^"^^^' (■i-ioa^P-^4a'b^+Sa'bK

Résultat réduit 5a7 22a^^»+i 2a^è*— 6a^ô^— 4a^M-f 8a*^\

La première ligne des produits partiels contient ceux

de tous les termes du multiplicande par le premier terme

D ' A li G E B It E. 4»7

a^ du multiplicateur ; ce terme étant censé avoir le signe + , les produits qu'il donne ont les mêmes signes <jue les termes correspondans du multiplicande (3i).

Le premier terme 5a'^ du multiplicande ayant le «igné -\~ , on n'écrit pas celui du premier produit partiel, qui serait aussi -|- ; le coefficient 5 de a^ étant multiplié par le coefficient i de a^, donne 5 pour celui du produit partiel ; la somme des deux exposans de la lettre a est 4-f-3 ou 7 : le premier produit partiel est donc 5a'.

Le second terme — aa^b du multiplicande ayant le signe — , le produit a le signe — ; le coefficient 2 de a^bj multiplié parle coefficient i de c^, donnée pour coefficient du produit; l'exposant de la lettre a , commune aux termes qu'on multiplie , est 3 -j- 3 ou 6, et on écrit à la suite la lettre b , qui ne se trouve que dans le multiplicande partiel : le second produit partiel est donc — Qa^b.

Le troisième terme +4^* b^ donne un produit partiel affecté du signe -f-, et par les règles appliquées aux deux termes précédens , on trouve -}- 4^^^^-

La seconde ligne contient les produits de tous les termes du multiplicande par le second terme — 4 û* ^ ^^^ multiplicateur ; ce dernier ayant le signe — , tous les produits qu'il donne doivent avoir des signes contraires à ceux des termes correspondans du multiplicande : les coefficiens , les lettres et les exposans se forment comme dans la ligne précédente.

La troisième ligne enfin renferme les produits de tous les termes du multiplicande par le troisième terme -f 2 b^ du multiplicateur ; ce terme ayant le signe + , tous les produits qu'il donne ont le même signe que les termes correspondans du multiplicande.

Après avoir formé tous les produits partiels dont se compose le produit total, on examine attentivement ce dernier , pour voir s'il ne renferme pas des termes sem-

48 élémens

blables. Lorsqu'il en offre de tels , on lés réduit, suivant la règle du numéro 19 , en observant que deux termes, pour être semblables , doivent contenir non-seulement les mêmes lettres, mais encore affectées d'bs mêmes exposans. Dans l'exemple ci-dessus, il y a trois réductions , savoir :

— 2.a^h et — 2oa^ , ce qui donne — 220^^; -f- ^œ'b^ et + 8a^Z>% ce qui donne -f- lo.a'b^ ;

— iMb"^ et -\-\oa^b^y ce qui donne — ^a^¥. Ces réductions étant effectuées , on a pour résultat la dernière ligne de l'exemple.

Voici encore , pour exercer le lecteur , un exemple de multiplication , qu'il est facile d'effectuer d'après ce qui précède.

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