PROBLÈMES INDÉTERMINÉS

76. Appliquons ce qui précède à la résolution de quelques questions.

Ier Problème. Un nombre est composé de trois chiffres. Le quadruple du chiffre des unités , diminué du double du chiffre des dixaines , et augmenté du quintuple du chiffre des centaines, donne i3. Le quintuple du chiffre des centaines, plus 7 fois le chiffre des dixaines , moins le triple du chiffre des unités, donne 10. Trouver ce nombre.

Si le nombre cherché est composé de x unités, de^r dixaines et de z centaines , ces trois chiffres devront satisfaire aux équations

4x — 2 yr + 5s = 1 3 , 5s -+- qy — 3x == 10;

et d’après la nature de la question , ou ne devra admettre pour

x, y, s, que des nombres entiers positifs moindres que 10.

On a vu (pages iSget 160), qu’il n’existe qu’une solution

entière positive x = 3, y = 2, 3=1. De sorte que le nombre cherché est 123.

2* Problème. Déterminer deux nombres entiers positifs x,

y, tels que le triple du premier, diminué du double du second , soit égal à 21 ; le premier de ces nombres , divisé par Z, conduit au reste a, et le reste de la division du second nombre par 6 j est 3.

La division de x par 3 doit donner un quotient entier positif

quelconque z, et le reste 2; la division de jy par 6, fournit un quotient entier positif quelconque t, et le reste 3; on a donc

3x — iy — 2.1, x = 3z-fa 2, y= 6t+ 3.

On a vu ( i*r exemple j pages 160 et 161 ) , que ces équations admettent une infinité de solutions entières positives qui se déduisent des formules

en donnant à e les valeurs 3, 4» 5, Ç, 7, etc.

3e. Problème. Trouver un nombre entier positif tel qu’en le divisant successivement par 6, par 12 et par i5, les restes correspondais soient 1 , 1 et 10.

Si l’on représente par t le nombre cherché, et par x, y, z les quotiens correspondans aux diviseurs 6, 12, i5, il faudra que

Ce qui revient au système

,6x + 1 = t2y -f- 1 , 6x -f- 1 = 1 5s -J-io, t = 6x-}-i.

Les solutions entières des équations

6x-f- 1 = 12^+ 1 , 6x -4- 1 = i5s + 10, seront fournies par les formules

x = 2(2-f-5e'), y — 2 + 5e, z=i + fa'.

On en déduit <=5(5+ 1 2e' ) .

Tous les nombres qui jouissent des propriétés demandées , se déduiront de la formule1 t— 5 (5 -f- 12/) , en donnant successivement à l’indéterminée é les valeurs o, 1, 2, 3, 4> etc.

On trouvera que ces nombres sont,

25, SS-, i45, 2o5, 265, 3a5, 385, 44^* etc.

Ils forment une progression arithmétique dont la raison est 60.

4e Problème. Payer 57000 francs avec des billets de 7000 francs j de 9000 francs et de 11000 francs.

Si te t y et z désignent le nombre des billets de chaque espèce ,