CHAPITRE II

un aura

7000 r + goooy + • iooos= 57000,

Divisant tous les termes par 1000 , il vient 7x + 9 y+ IIZ = 57-

On a vu (2* exemple, page 161 ), que la seule solution entière positive de cette équation est x=4, y=2, z — i.

De sorte qu’on effectuera le paiement des 5,jooof en donnant quatre billets de 70oof, plus deux billets de 9000*, plus un billet de 11000 francs. ,

5e Problème. Un fermier achète 100 bêtes pour 100 pis tôles, à raison de 10 pistoles par bœuf, de 5 pis tôles par vache , de 2 pistoles par veau, et d'une demi-pistole par mouton. Il s'agit de trouver combien il y a d’animaux de chaque espèce.

Soient x,jr, z et t les nombres cherchés. Ils devront satisfaire aux conditions

x-f-y-f-z-f-t=ioo, iox-f-5y4-2s + it=joo.

On a vu (3* exemple , pages 162 et i63), que ces équations admettent dix solutions entières positives, dont les huit premières se déduisent des formules

*=*> a = 3(9 — jO» * = aCy + 36), en donnant successivement à y les valeurs i , 2 , 3, 4 , 5, 6, 7,8; et dont les deux autres sont fournies par les relations

x = 4, z = 8 — 3yt £ = 88 -f- 2y , en faisant y= 1 et y =2.

Par exemple, soit y=3 ; on a x = l , zr=i8, 1 = 78.

Et en effet

1 bœuf vaut. 10 pistoles,

3 vaches valent 3 fois 5 pistoles, on i5 pistoles,

18 veaux valent 18 fois a pistoles, ou 36 pistoles,

78 montons valent 78 fois î pistole, ou 39 pistoles,

Ces 100 bêles valent donc 100 pistoles.

6* Problème. Trouver un nombre de quatre chiffres tel, que

ALGL15RE.

le 1er chiffre (à partir de la gauche') ajouté au dernier donne 8, que le 2* ajoute au 3' donne •), que le 1er plus le 3' j fournisse une somme égale aux \ de la somme des deux autres , et que la somme des quatre chiffres soit i5.

Si x , y, z et t désignent les chiffres du nombre demandé, on aura

X + t= 8, y- fz=7, x+a=|(iy-f tj, X+y+Z+tz=l5.

Le problème parait déterminé , car on a quatre équations entre quatre inconnues. Mais il est facile de voir que la dernière équation n’est qu’une conséquence des deux premières. On n’a donc réellement que trois équations distinctes, entre les quatre inconnues x, y, z, t. Le problème est donc indéterminé.

Pour trouver toutes ses solutions, on tire des trois premières équations, les valeurs de y,z, t, en fonction de l’indéterminée x , ce qui conduit à

Le nombre cherché devant être composé de quatre chiffres x, y, z, t, le chiffre x des mille ne peut être zéro; et d’ailleurs x, y, z, t, doivent être des nombres entiers positifs. Toutes les solutions du problème proposé se déduiront donc des formules (i) en donnant successivement à x les valeurs 1,2,3, 4, 5, 6. Cela fournira les six nombres

1257, 2346, 3435, 452*4, 56i3, 6702, qui jouissent des propriétés demandées.

Nous terminerons l'analyse indéterminée en traitant une question dans laquelle il n’y aura que certaines inconnues qui devront être des nombres entiers positifs.

7' Problème. 'Trois mobiles parlent en meme temps dé un même point d’une circonférence ; ils la parcourent dans le même sens avec des vitesses constantes ; la longueur de la circonférence est c mètres. Il s’agit de trouver dans combien d’heures ces mobiles se rencontreront deux à deux et trois à trois.

Soient v , v" et v" mètres, les espaces qu’ils parcourent en