CHAPITRE II

une heure ; et supposons

Pour que deux de ces mobiles se rencontrent, il suffit et il faut que la distance parcourue par l’un de ces mobiles soit égale à celle que l’autre mobile a parcourue pendant le même temps, augmentée d’un nombre exact de circonférences.

Cela posé : si après y heures de marche, les deux premiers mobiles se trouvent sur un même point de la circonférence , les espaces qu’ils auront parcourus seront v'y, v"y mètres ; et n désignant un nombre entier positif quelconque, il faudra que

v'y = v'y + nc-, d’où (»)••• y = v«v'-

Donnant successivement à n les valeurs 1, 2, 3, etc., les valeurs correspondantes de y exprimeront dans combien d’heures le 2e mobile rencontrera le Ier mobile, pour la ir" fois, pour la 2* fois, pour la 3* fois, etc.

Par une raison semblable, le 3° mobile aura rencontré n' fois n* c

le Ier mobile, dans -5 -, heures; et le 3" mobile aura ren-

contré n" fois le 2' mobile, dans „ heures; désignant ces

deux nombres d’heures , par z et t , on aura

. . ne n c ne

D’après la nature de la question , les inconnues y, z, t , doivent être des nombres positifs entiers ou fractionnaires; et les indéterminées n , n', n", doivent être des nombres entiers positifs.

Pour trouver les valeurs de y, z et t , correspondantes aux rencontres deux à deux des mobiles, il suffit de donner successivement aux indéterminées n, n', n", les valeurs 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, etc.

Par exemple, en faisant n' — 5, la formule (2) indiquera après combien d’heures le 3* mobile rencontrera le i'r, pour la cinquième fois.

ALGEBRE.

Les rencontres des mobiles trois à trois , se déduisent de ce «|ui précède. En effet, le 2' mobile rencontre le 1" après y heures, et le 3e rencontre le 1 °r après z heures. Par conséquent, pour que les trois mobiles se trouvent sur un même point de la circonférence, il suffit et il faut que les valeurs (1), (2) de y et de z soient égales entre elles.

La question est ainsi réduite à calculer les valeurs entières positives des indéterminées n , n , qui satisfont à l’équation

d’où (4).

♦ Lorsque les valeurs numériques des vitesses v , v" , v“ seront

vn — vr

données, on réduira la fraction -= T à sa plus simple ex-

pression a et C seront des nombres entiers positifs, premiers

entre eux ; on aura

et d’après ce qu’011 a vu ( page i56) , toutes les solutions entières positives de l’équation (4) se déduiront des formules n — ae, n = Ce , en donnant successivement à e les valeurs 1 ,2,3, etc.

Le nombre d’heures écoulées depuis l’instant du départ des trois mobiles jusqu’au moment où ils se retrouvent sur un même point de la circonférence , est exprimé par l’une quelconque des

quantités égales ^ — - — ,, —, ; désignant ce nombre d’heures

par x, et remplaçant les indéterminées n, n', par leurs valeurs générales ae , Ce , on aura

«ce C ce

(Uj... x — -7r-—

Les mobiles se seront donc rencontrés e fois, trois à trois , dans

ace

-, heures.

Les valeurs correspondantes de y et a se déduisent des formules (1) , (2) , en y faisant n = ae , n Ce ; ce qui donne