CHAPITRE III
en b-t-c dans (i); ce qui dotine
On développe le quarré de b +c , on multiplie b -f-c par 2a , et l’on trouve
{a + b + c)“ = a* -f- + 2ac + é* + 2 bc -j- e*.
Pour déduire de cette dernière formule le quarré d’un quatrinome, il suffit d’y changer c en c-j-cf , et de développer ensuite le quarré de c -f- d.
On trouve de cette manière que le quarré àea + b-\-c+d est
a*-}- 2ab-f- 2ac-\-2ad -f- 6*-f- 2 bc-\- 2 bd c' 2cd -f- cP; et ainsi de suite.
Il est facile de conclure de ces formules que le quarré d’un polynôme quelconque est composé : du quarré du I,r terme j du double du i*r terme multiplié par tous les autres termes ; du quarré du 2e terme j du double de ce 2* terme multiplié par tous les termes suivons; du quarré du 3' terme , du double de ce 3e terme par tous les termes qui le suivent; et ainsi de suite , jusqu’au quarré du dernier terme.
On trouve d’après celte règle, que le quarré de 2rt3-f*7<r‘-f"3 est 4ob + 28a5 -(- 4qa* + 1 2 a3 + 42a’ -f- g ,
et que le quarré de a -f- bx -f- ex' -f- dx3 est
û1 + 2 abx + 2 aex* -f- ladx3
-f- éV- f- nbcx3 -f- 2bdx*
+ c”*1 + 2cdxi ~h d? xe.
80. Nous allons faire voir actuellement comment on peut extraire la racine quarrèe d’un polynôme. Nous supposerons que tous les polynômes sont ordonnés suivant les puissances d’une même lettre.
1" Exemple. Soit proposé d’extraire la racine quarrée de 4«6 -f- 28 a5 -f- 490+ -j- 1 2a3 -f- 42a* -{- 9.
174 algèbre.
On dispose et on effectue le calcul de la manière suivante :
(Juarré 4a6+28aM-49fl4*Haa*“f'4ïa*+9
Jo’-t- 7o*-t-3
Racine.
i*r reste, R ==a8aï-f-49a4“Maa3“f’4îla*~f'9
reste , R'= *"+*<)
— iaa*— foa3— g
3e reste,' R"= o
Pour calculer la racine cherchée, on observe que le i” terme du produit de deux polynômes ctaut le produit du i'r terme du multiplicande par le Ier terme du multiplicateur (n° 19), le premier terme du quarrè d’un polynôme , est le quarrè du premier terme de ce polynôme.
Par conséquent, le Ier terme 4“C du polynôme donné est le quarrè du i*r terme de la racine demandée; le t'r terme de cette racine est donc [/ 4a6 ou 2 a3.
Désignant par r, la somme des autres termes de la racine, et par P le polynôme proposé, on a
P =(2a3 + r)!“= 4 a6 -f- 4a3r -f- r“ = 4a6 + 28a5 4* etc.
Retranchant (2 a3)* ou 4a6 , de P, le i*r reste est
R = P — 4a8= r X (4a3 + r) = 28a5 -f- 49a4 -f- etc.
Le Ier terme 28a® de ce reste est donc le produit du i,r terme de r, par le Ier terme 4a* du facteur 4a3 -f- r; Ja division du i*r terme 28a5 du i'r reste, par le double 4«3 du t*r terme de la racine, donne donc le Ier terme 7a* de r, c’est-à-dire le 2* terme de la racine cherchée.
Retranchant de P , le quarrè (2 a3 -f- 7 a*)“ de la somme des deux premiers termes de la racine, ou, ce qui est plus simple, retranchant du 1" reste R le produit de 4 a3 + 7a* par 7 a* (*),
(*) La formule (p ■+■</)* = p’ + (ap + </)^, démontré que pour soustraire (p +</)’, de a, il suffit d’ôter d'abord p* de *, et d’ôler ensuite (ip+q) X <7, du reste a — p*.
on obtient un a* reste,
R' = 1 aa3 ■+■ 4a a* -+- 9.
Pour trouver les autres termes de la racine , on désigne leur somme par /, et regardant 2a3 + 7 a* comme la 1” partie de la racine demandée , on a
P = (ia} -4- 7a* ■+• /)* =(aaî -f- 7a*)* +a(aa* -+• 70*)/+ r'*. Or, R'=P — (2«J -f-7a*)*. Donc R' es/ x {a(MJ + 7a*)+r'} = 1» aJ + etc.
Les exposans de a dans r étant moindres que 2, on est certain que 1 la} est le produit du Ier terme de r , par le 1" terme 4a3 du facteur 2 (2a3 -f- 7a*) -f- r . Divisant donc le 1" terme 12a3 du 2* reste, par le double 4®* du 1" terme de la racine, le quotient 3 est le 1" terme de r, c’est-à-dire le 3e terme de la racine demandée.
Retranchant de P le quarré (2a3 -f- 7a* -f- 3)“ , de la somme des trois premiers termes de la racine, ou, ce qui est plus simple , ôtant du 2e reste R', le produit de 2(2 a3 -f- 7a*) 3 par 3,
le 3* reste est zéro.
La racine demandée est donc 2a3 -f- 7 a” + 3.
On parviendrait au même résultat en ordonnant le polynôme proposé et tous les restes, par rapport aux puissances croissantes de a. On trouverait que la racine demandée est 3 -f- 7<z*-f-2a3.
8 1 . On en déduit cette règle générale : Pour extraire la racine quarrèe d’un polynôme quelconque P, ordonnes- le par rapport aux puissances d‘ une même lettre. Concevez que la racine et les restes successifs soient ordonnés par rapport à la même lettre, et disposez les calculs comme dans F exemple précèdent. La racine du 1" terme de P , sera le 1“ terme i'de la racine demandée. Otez î* de P ; le 1" terme du reste R, divisé par 2<f, donnera le 2e terme i1 delà racine. Retranchez défi, le produit de 2 J~-j- S* par P •, vous obtiendrez un second reste R'/ la division du i" terme de R' par •zi', donnera le 3* terme de la racine ; et ainsi de suite. Lorsque vous parvieiulrez à un reste nul , la racine obtenue sera exacte.
2* Exemple. Soit proposé dJ extraire la racine de
— 4 2«“65 -f- 1 2«366 -f- g6( -f- 49a466 -f- 4aBi* — 28 asb7 ,
on ordonne ce polynôme par rapport aux puissances décrois-1 santés de a, et on dispose ainsi le calcul
4 a6b9 — 28a*bi — 4‘ïa,^5”H)^4
—4 aW
aa«i4 — ya,6i+3l‘
l« reste, — ?&a*bi-\-!\Ç)a*b6-\-i'id*b6 — 43a*^5“Hî^4 -f-c»8a5£7 — 49 <**b6
a* reste.... -t-ia a*66 — 4 aa*4!-H)^4
— iaa346-f-4aa*^5 — 9^4
4 aïbl — 14«*^3+3^*
3« reste ......... 0.
1 an* A6 —
La racine du 1" ternie 4«6^8 du polynôme proposé P, détermine le i" terme 2 a3b* de la racine cherchée. Retranchant 4 n66* de P , on obtient le 1" reste. Le i*r terme — 28o567 de ce reste, divisé par 4 a* b*, donne le 2* terme — ']d‘b3àe la racine. Ajoutant ce 2' terme au double 4«3^4 du t" terme de la racine et multipliant la somme par — 7 a*63, le produit, soustrait du î" reste conduit au 2e reste. La division du 1" terme -f- ts.a3br' de ce 2' reste, par 4 a3b\ donne le 3e terme -f- 36“ de la racine. On ajoute ce 3e terme au double 4a364 — i^a'b3 de la somme des deux premiers termes de la racine, et on retranche du 2* reste le produit de 4“3^4 — i4«a63-4-36* par 36“ ; ce qui donne zéro, pour 3e reste. La racine demandée est donc 2 a36* — ’ja'b3 -f- 3 ô“.
ire Remarque. Dans tout le cours des opérations relatives à F extraction de la racine qaarrée d’un polynôme P, le quarrè de la partie de la racine déjà obtenue 3 ajouté au reste correspondant , fournit une somme qui doit être égale au polynôme donné P. Quand cette condition n’est pas remplie j on est certain qu’on a commis des fautes de calcul. Car il est facile de voir que d’après le procédé indiqué par la règle générale, on parvient à un reste quelconque, après avoir retranché du polynôme donné toutes les parties qui composent le quarré de la somme des termes déjà obtenus à la racine.
