CHAPITRE III

Ainsi , clans l’exemple ci-dessus , on a trouvé le a* reste \uasb6 — 42a’Z>5 + 9M, après avoir ôte successivement du polynôme donné , les parties 4aG68 , — 28 a5b7 -f- 4g qui forment le quarré des termes l.a3bi — 'ja'b3 obtenus à la racine. Le quarré de 2a3è' — y a? b3 ajouté au 2' reste, doit donc donner le polynôme proposé; ce qui a effectivement lieu.

2e Remarque. Quand le polynôme P dont on demande la racine, est le quarré d’un polynôme G composé d’un nombre fini de termes, la règle précédente conduit nécessairement à un reste nul, et le dernier terme de P est le quarré du dernier terme de la racine G (n° 19).

Par conséquent, lorsqu’en ordonnant suivant les puissances décroissantes d’une lettre a , on est conduit à un terme » de la racine tel que l’exposant de a dans est moindre que dans le dernier terme de P, le polynôme P n’est pas un quarré; sa racine est irrationnelle > c’est-à-dire qu’elle ne peut être exprimée exactement par un nombre fini de monome*.

Par exemple, lorsqu’en extrayant la racine de a,0-t-2a8, ou est parvenu au 2' terme + a3 de la racine , on est certain que le binôme a'° -f- 2a8 n’est pas un quarré; car s’il en était un , l’exposant de a dans le dernier terme de la racine serait moindre que 3; Je quarré de ce dernier terme ne pourrait donc pas être égal au dernier terme 2a8 du polynôme proposé; ce qui devrait avoir lieu si la racine était exacte (n° 19).

L’extraction de la racine quarree de a'° -f- 2a8 se prolonge indéfiniment, et on trouve

V/ a'0- H 2 a* = a5 -f- a3— 1 — £a-3-{~ etc.

Par une raison semblable, lorsqu’en ordonnant suivant les puissances croissantes de a, ou parvient à un terme a do la racine , tel que l’exposant de a dans ai* est plus grand que dans le dernier terme du polynôme proposé, ce polynôme n’est pas un quarré.

Le binôme i* — 4 ca est de cette espèce; on trouve V b'Â — 4 caz=b — 2cb~'a — 2c*b~3a' — f\cb~3a3 — etc.

3* Remarque, l.espartiesquieomposentlcquarréd’nn nombre

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entier étant confondues dans ce quarré, la recherche des différens chiffres de la racine a exigé des tâtonnemens qui n’ont plus lieu pour les quantités littérales, parce que les parties qui composent les \quarrés des quantités littérales, peuvent toujours être mises en évidence. La division a offert les mêmes circonstances.

Calcul des radicaux quarré s.

8a. Lorsque les quantités placées sous des radicaux quarrés sont les mêmes, on dit que ces radicaux sont semblables , et quand ces deux conditions ne sont pas remplies, les radicaux sont dissemblables. Ainsi , les radicaux 3a y/ 2 cd, 2 b y/ icd sont semblables j et les radicaux y/a6, y/ lab , y / cd, sont dissemblables. Cela posé :

i°. U addition et la soustraction des radicaux semblables s3 effectuent sur les coeffîciens de ces radicaux ; car on peut regarder le radical, comme une certaine unité qui est répétée un nombre de fois marqué par le coefficient de chaque radical.

Ainsi , 3yAa + 5y/aa=8y/ la, 8 y/ 2 a — 3^na=5[/ 2 a, 2 a y /b -f- 36 y/6 = (2a -f- 36) y/6,

5a y/ 6* — c + ^ay/61 — c = 12a y/ 6* — c.

2°. Quand des radicaux réduits à leur plus simple expres~ sion sont dissemblables j on ne peut qu'indiquer V addition et la soustraction.

Ainsi, pour ajouter y/a à y/6 on écrit y/a-f- y /b.

3°. Pour multiplier des radicaux quarrés , il suffit de former le produit des quantités qui sont sous les radicaux et de mettre ce produit sous un radical du même degré ; car d’après le premier principe du n° ^8, le quarré de y/a y/j y/c étant

(y/ô)* W~t>T (y/c)*, ou abc, il en résulte que y/a y/ 6 y/c exprime la racine quarrée de abc ; de sorte que

y/ a x y / 6 x c •= y/ abc.